Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o 10 dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono ją obu robotnikom, którzy pracując razem, wykonali ją w ciągu 12 dni. W ciągu ilu dni wykonałby pracę każdy robotnik pracując samodzielnie?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 20 dni oraz 30 dni
Oznaczmy czas pracy niewykwalifikowanego robotnika przez x dni.
## Krok 1: Ustalenie czasów pracy
Skoro wykwalifikowany robotnik pracuje o 10 dni krócej: - niewykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w x dni - wykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w x - 10 dni
## Krok 2: Wydajność robotników
Jeśli całą pracę oznaczymy jako 1, to: - wydajność niewykwalifikowanego: 1/x pracy dziennie - wydajność wykwalifikowanego: 1/(x-10) pracy dziennie
## Krok 3: Praca wspólna
Pracując razem przez 12 dni, wykonali całą pracę:
wydajność wspólna × 12 = 1
(1/x + 1/(x-10)) × 12 = 1
## Krok 4: Rozwiązanie równania
1/x + 1/(x-10) = 1/12
Sprowadzamy do wspólnego mianownika po lewej stronie:
(x-10 + x)/x(x-10) = 1/12
(2x - 10)/x(x-10) = 1/12
Mnożymy obie strony przez 12 · x(x-10):
12(2x - 10) = x(x - 10)
24x - 120 = x² - 10x
x² - 10x - 24x + 120 = 0
x² - 34x + 120 = 0
## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego
Obliczamy deltę:
Δ= (-34)² - 4 · 1 · 120 = 1156 - 480 = 676
√(Δ) = √(676) = 26
x₁ = (34 + 26)/2 = 60/2 = 30
x₂ = (34 - 26)/2 = 8/2 = 4
## Krok 6: Sprawdzenie rozwiązań
Dla x₂ = 4: wykwalifikowany pracowałby 4 - 10 = -6 dni — niemożliwe
Dla x₁ = 30: wykwalifikowany pracowałby 30 - 10 = 20 dni — poprawne
## Krok 7: Weryfikacja
Sprawdzamy, czy pracując razem wykonają pracę w 12 dni:
12 · (1/30 + 1/20) = 12 · (2/60 + 3/60) = 12 · 5/60 = 12 · 1/12 = 1 ✓
## Odpowiedź
Niewykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w 30 dni.
Wykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w 20 dni.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.