Ciąg (2x – 1, y, 6x + 3) jest arytmetyczny, a ciąg (3, y, 27) jest geometryczny rosnący. Oblicz x i y.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=2, y=9
Korzysta się z definicji ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
## Warunek dla ciągu arytmetycznego
Ciąg (2x - 1, y, 6x + 3) jest arytmetyczny, więc różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:
y - (2x - 1) = (6x + 3) - y
Upraszcza się:
y - 2x + 1 = 6x + 3 - y
2y = 6x + 3 + 2x - 1
2y = 8x + 2
y = 4x + 1 (równanie 1)
## Warunek dla ciągu geometrycznego
Ciąg (3, y, 27) jest geometryczny, więc iloraz kolejnych wyrazów jest stały:
y/3 = 27/y
Mnoży się obie strony przez 3y:
y² = 81
y = 9 lub y = -9
## Ustalenie znaku y
Ciąg geometryczny jest rosnący. Sprawdza się oba przypadki:
- Dla y = 9: ciąg to (3, 9, 27) — iloraz q = 3 > 1, więc ciąg rosnący ✓ - Dla y = -9: ciąg to (3, -9, 27) — wyrazy zmieniają znak, więc nie jest rosnący ✗
Zatem y = 9.
## Obliczenie x
Podstawia się y = 9 do równania (1):
9 = 4x + 1
8 = 4x
x = 2
## Sprawdzenie
Dla x = 2 i y = 9: - Ciąg arytmetyczny: (2 · 2 - 1, 9, 6 · 2 + 3) = (3, 9, 15) — różnica r = 6 ✓ - Ciąg geometryczny: (3, 9, 27) — iloraz q = 3, rosnący ✓
Odpowiedź: x = 2, y = 9
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.