Udowodnij, że punkty A=(1,2), B=(-2,8) i C=(-25,54) są współliniowe.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPunkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej. Sprawdzimy to na dwa sposoby.
## Sposób I: Współliniowość przez wektory
Punkty A, B, C są współliniowe, gdy wektory AB i AC są równoległe (jeden jest wielokrotnością drugiego).
Oblicza się wektor AB:
AB = [B_x - A_x, B_y - A_y] = [-2-1, 8-2] = [-3, 6]
Oblicza się wektor AC:
AC = [C_x - A_x, C_y - A_y] = [-25-1, 54-2] = [-26, 52]
Sprawdza się, czy AC = k · AB dla pewnego k ∈ R:
[-26, 52] = k · [-3, 6]
Z pierwszej współrzędnej: -26 = k · (-3) k = -26/-3 = 26/3
Z drugiej współrzędnej: 52 = k · 6 k = 52/6 = 26/3
Otrzymaliśmy tę samą wartość k = 26/3, więc:
AC = 26/3 · AB
## Sposób II: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
Wyznacza się równanie prostej przez punkty A i B:
Współczynnik kierunkowy: a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (8-2)/(-2-1) = 6/-3 = -2
Równanie prostej AB: y - y_A = a(x - x_A)
y - 2 = -2(x - 1) y - 2 = -2x + 2 y = -2x + 4
Sprawdza się, czy punkt C=(-25, 54) należy do tej prostej:
y_C = -2 · (-25) + 4 = 50 + 4 = 54
Punkt C spełnia równanie prostej AB.
---
Wniosek: Punkty A, B i C są współliniowe. ∎
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.