Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez 3 .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 1/3
## Krok 1: Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych
Losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Liczba wszystkich możliwych wyników (par uporządkowanych): |Ω| = 6 · 5 = 30
(pierwsza liczba: 6 możliwości, druga liczba: 5 możliwości, bo nie zwracamy)
## Krok 2: Analiza podzielności przez 3
Sprawdźmy reszty z dzielenia liczb ze zbioru przez 3: - 1 ≡ 1 3 - 2 ≡ 2 3 - 3 ≡ 0 3 - 4 ≡ 1 3 - 5 ≡ 2 3 - 6 ≡ 0 3
Pogrupujmy liczby według reszt: - Reszta 0: {3, 6} — 2 liczby - Reszta 1: {1, 4} — 2 liczby - Reszta 2: {2, 5} — 2 liczby
## Krok 3: Warunek podzielności sumy przez 3
Suma dwóch liczb jest podzielna przez 3, gdy suma ich reszt jest podzielna przez 3.
Możliwe kombinacje reszt: - 0 + 0 ≡ 0 3 ✓ - 1 + 2 ≡ 0 3 ✓ - 2 + 1 ≡ 0 3 ✓
## Krok 4: Zliczenie korzystnych zdarzeń
Przypadek 1: Obie liczby z grupy "reszta 0" 2 · 1 = 2 pary: (3,6), (6,3)
Przypadek 2: Pierwsza z grupy "reszta 1", druga z grupy "reszta 2" 2 · 2 = 4 pary: (1,2), (1,5), (4,2), (4,5)
Przypadek 3: Pierwsza z grupy "reszta 2", druga z grupy "reszta 1" 2 · 2 = 4 pary: (2,1), (2,4), (5,1), (5,4)
Łącznie zdarzeń sprzyjających: |A| = 2 + 4 + 4 = 10
## Krok 5: Obliczenie prawdopodobieństwa
P(A) = |A|/|Ω| = 10/30 = 1/3
Odpowiedź: 1/3
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.