Rozwiąż nierówność (2-x)² ≤ 9 .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ ⟨-1;5⟩
Rozwiążemy nierówność (2-x)² ≤ 9 .
Krok 1: Przenosimy 9 na lewą stronę
(2-x)² - 9 ≤ 0
Krok 2: Rozpoznajemy różnicę kwadratów
Wyrażenie (2-x)² - 9 można zapisać jako (2-x)² - 3² , co jest różnicą kwadratów.
Stosujemy wzór: a² - b² = (a-b)(a+b)
(2-x-3)(2-x+3) ≤ 0
(-1-x)(5-x) ≤ 0
Krok 3: Przekształcamy dla wygody
Wymnożymy pierwszą nawias przez -1:
-(-1-x)(5-x) ≥ 0
(1+x)(5-x) ≥ 0
Krok 4: Znajdujemy miejsca zerowe
- 1+x = 0 ⇒ x = -1 - 5-x = 0 ⇒ x = 5
Krok 5: Badamy znaki wyrażenia metodą przedziałów
Sprawdzamy znak iloczynu (1+x)(5-x) w trzech przedziałach:
- Dla x < -1 (np. x = -2): (1-2)(5-(-2)) = (-1)(7) = -7 < 0 - Dla -1 < x < 5 (np. x = 0): (1+0)(5-0) = 1 · 5 = 5 > 0 - Dla x > 5 (np. x = 6): (1+6)(5-6) = 7 · (-1) = -7 < 0
Krok 6: Odczytujemy rozwiązanie
Nierówność (1+x)(5-x) ≥ 0 jest spełniona dla x ∈ [-1; 5] .
Ponieważ mamy nierówność nieostrą (≤), punkty x = -1 i x = 5 również należą do rozwiązania.
Odpowiedź: x ∈ ⟨-1; 5⟩
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.