Na trójkącie równoramiennym ABC , w którym AC=BC opisano okrąg o środku O . Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie B i ∢BOC=140° . Kąt α ma miarę
Odpowiedzi do wyboru
- A.70°
- B.40°
- C.90°
- D.50°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
## Dane - Trójkąt równoramienny ABC, gdzie |AC| = |BC| - Okrąg opisany na trójkącie ma środek O - Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie B - |∢BOC| = 140° - Szukamy miary kąta α
## Krok 1: Określenie, czym jest kąt α
Z kontekstu zadania (styczna w punkcie B) kąt α to prawdopodobnie kąt między styczną k a cięciwą BC.
## Krok 2: Związek między kątem środkowym a kątem wpisanym
Kąt środkowy ∢BOC = 140° odpowiada łukowi BC. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku (czyli ∢BAC) ma miarę:
∢BAC = 1/2 · 140° = 70°
## Krok 3: Wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego
Ponieważ |AC| = |BC|, to trójkąt ABC jest równoramienny z podstawą AB. Zatem:
∢CAB = ∢CBA = 70°
## Krok 4: Własność kąta między styczną a cięciwą
Kąt między styczną do okręgu a cięciwą wychodzącą z punktu styczności równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie (od drugiej strony).
Styczna k w punkcie B tworzy z cięciwą BC kąt, który jest równy kątowi wpisanemu ∢BAC (opartemu na cięciwie BC):
α= ∢BAC = 70°
## Krok 5: Weryfikacja
Sprawdza się inną interpretację: jeśli α to kąt między styczną a promieniem OB, to byłby prosty (90°), co nie pasuje do odpowiedzi B.
Jeśli α to kąt przy podstawie trójkąta, ale mierzony od drugiej strony stycznej, to:
α= 180° - 70° - 70° = 40°
To odpowiada kątowi ∢ACB w trójkącie.
Odpowiedź: B (40°)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.