Drut o długości 96 cm wykorzystano w całości na wykonanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wszystkich krawędziach równej długości. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy i wyznacz cosinus tego kąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: cos α=√(3)/3
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-32.png]
Wyznacza się cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.
## Krok 2: Określenie długości krawędzi
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma: - podstawę będącą kwadratem (4 krawędzie) - 4 krawędzie boczne
Wszystkie krawędzie są równej długości, więc ostrosłup ma łącznie 8 krawędzi.
Długość drutu: 8a = 96 cm
Zatem: a = 12 cm
## Krok 3: Układ współrzędnych i oznaczenia
Umieszczam podstawę w płaszczyźnie xy ze środkiem w początku układu: - A = (6, 6, 0) - B = (-6, 6, 0) - C = (-6, -6, 0) - D = (6, -6, 0) - S = (0, 0, h) — wierzchołek
gdzie h to wysokość ostrosłupa.
## Krok 4: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa
Z warunku, że krawędź boczna ma długość 12 cm:
|SA| = 12
√(6² + 6² + h²) = 12
√(72 + h²) = 12
72 + h² = 144
h² = 72
h = 6√(2) cm
## Krok 5: Znalezienie kąta nachylenia ściany bocznej
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.
Rozważam ścianę boczną SAB. Aby wyznaczyć ten kąt, wyznacza się: - punkt M — środek krawędzi AB: M = (0, 6, 0) - odcinek SM leży w płaszczyźnie ściany i jest prostopadły do AB - odcinek OM leży w płaszczyźnie podstawy i jest prostopadły do AB
Szukany kąt α= ∠SMO.
## Krok 6: Obliczenie długości odcinków
|OM| = 6 cm (promień okręgu wpisanego w podstawę)
|SM| = √(|SO|² + |OM|²) = √((6√(2))² + 6²) = √(72 + 36) = √(108) = 6√(3) cm
## Krok 7: Wyznaczenie cosinusa kąta
Z trójkąta prostokątnego SMO:
cos α= |OM|/|SM| = 6/(6√(3)) = 1/√(3) = √(3)/3
## Zaznaczenie kąta na rysunku
Kąt α to kąt między odcinkiem SM (apotema ściany bocznej) a odcinkiem OM (apotema podstawy), mierzony w płaszczyźnie przekroju przez wysokość ostrosłupa.
Odpowiedź: cos α= √(3)/3
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.