Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3 , to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
n - liczba naturalna
3n - liczba naturalna podzielna przez 3
3n+1 - liczba naturalna niepodzielna przez 3 (daje resztę równą 1)
3n+2 - liczba naturalna niepodzielna przez 3 (daje resztę równą 2)
Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez 3 (czyli 3n+1 oraz 3n+2) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez 3 równą 1.
Krok 2. Podniesienie do kwadratu liczb niepodzielnych przez 3.
Musimy zweryfikować obydwa warianty.
Podniesienie do kwadratu wyrażenia 3n+1:
(3n+1)²=9n²+6n+1= =3(3n²+2n)+1
Podniesienie do kwadratu wyrażenia 3n+2:
(3n+2)²=9n²+12n+4= =9n²+12n+3+1=3(3n²+4n+1)+1
W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez 3 daje resztę równą 1 wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.