Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania (2x+4)/(x-2)=2x+1.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Zapisanie założeń.
Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:
x-2 ≠ 0 x ≠ 2
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość (x-2), pozbywając się w ten sposób ułamka:
(2x+4)/(x-2)=2x+1 / · (x-2) 2x+4=(2x+1) · (x-2) 2x+4=2x²-4x+x-2 2x+4=2x²-3x-2 -2x²+5x+6=0
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:
Współczynniki: a=-2, b=5, c=6
Δ=b²-4ac=5²-4 · (-2) · 6=25-(-48)=25+48=73 √(Δ)=√(73)
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-5-√(73))/(2 · (-2))=(-5-√(73))/-4=(5+√(73))/4 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-5+√(73))/(2 · (-2))=(-5+√(73))/-4=(5-√(73))/4
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.