W trapezie ABCD (AB || CD) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że |AO|:|OC|=5:1 . Pole trójkąta AOD jest równe 10 . Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72 .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Obliczenie pola trójkąta OCD oraz ACD.
Spójrzmy na trójkąt ACD, możemy go sobie nawet wyodrębnić z całego rysunku i naszkicować:
Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta OCD (którego pola powierzchni szukamy), to byłoby to:
P_(OCD)=1/2 · x · h P_(OCD)=0,5x · h
Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta AOD (którego pole powierzchni znamy), to byłoby to:
P_(AOD)=1/2 · 5x · h P_(AOD)=2,5x · h
Widzimy wyraźnie, że pole trójkąta AOD jest pięciokrotnie większe od trójkąta OCD. Skoro więc P_(AOD)=10, to P_(OCD)=10:5=2.
Tym samym możemy wyznaczyć pole trójkąta ACD:
P_(ACD)=P_(AOD)+P_(OCD)=10+2=12
Krok 2. Ustalenie podobieństwa trójkątów ABO i OCD.
Musimy zauważyć, że trójkąty ABO i OCD są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy?
|∢AOB|=|∢DOC| ⇒ kąty wierzchołkowe
|∢BAC|=|∢DCA| ⇒ kąty naprzemianległe
|∢ABD|=|∢CDB| ⇒ kąty naprzemianległe
Ale to nie wszystko, bo znamy też skalę podobieństwa tych trójkątów. Skoro odcinek AO jest pieć razy dłuższy od odcinka OC, to skala podobieństwa wynosi k=5. Z własności figur podobnych wiemy, że jeśli boki pierwszej figury podobnej są k razy większe od boków figury drugiej, to pole powierzchni pierwszej figury jest k² większe. W naszym przypadku oznaczać to będzie, że pole trójkąta ABO jest 5²=25 razy większe od pola trójkąta OCD, czyli:
P_(ABO)=25 · 2=50
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta OBC.
Spójrzmy na duże trójkąty ABD oraz ABC. Ich miary pól powierzchni muszą być sobie równe, bo obydwa trójkąty mają tą samą podstawę |AB| oraz tą samą wysokość (która jest wysokością trapezu). Pole trójkąta ABD możemy obliczyć bardzo szybko:
P_(ABD)=P_(ABO)+P_(AOD) P_(ABD)=50+10 P_(ABD)=60
Skoro tak, to także P_(ABC)=60, zatem możemy wyznaczyć pole trójkąta OBC:
P_(ABC)=P_(ABO)+P_(OBC) 60=50+P_(OBC) P_(OBC)=10
Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Obliczyliśmy wartości czterech mniejszych trójkątów wchodzących w skład trapezu, więc pole trapezu będzie sumą naszych wszystkich wyników:
P_(ABCD)=P_(ABO)+P_(AOD)+P_(OBC)+P_(OCD) P_(ABCD)=50+10+10+2 P_(ABCD)=72
Wynik wyszedł nam taki sam jak w treści zadania, tak więc dowód możemy uznać za zakończony.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.