Tworząca stożka ma długość 17 , a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22 . Oblicz pole powierzchni całkowitej i nbspobjętość tego stożka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=480π, V=600π
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie przekrój stożka i zaznaczmy na nim odpowiednie miary i oznaczenia:
Warto sobie od razu zapisać, że zgodnie z treścią zadania wysokość stożka jest krótsza o 22 od średnicy podstawy (średnicy, nie promienia!). Zatem:
H=2r-22
Krok 2. Wyznaczenie długości promienia podstawy.
Możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, podstawiając za wysokość H=2r-22. Otrzymamy wtedy:
r²+H²=17² r²+(2r-22)²=289 r²+4r²-88r+484=289 5r²-88r+195=0
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=5, b=-88, c=195
Δ=b²-4ac=(-88)²-4 · 5 · 195=7744-3900=3844 √(Δ)=√(3844)=62
r₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-88)-62)/(2 · 5)=(88-62)/10=26/10=2,6 r₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-88)+62)/(2 · 5)=(88+62)/10=150/10=15
Obydwa rozwiązania są póki co dobre, żadnego z nich nie możemy odrzucić (odrzucilibyśmy np. wtedy, gdyby któraś z wartości wyszła ujemna).
Krok 4. Obliczenie wysokości stożka.
Jeśli r₁=2,6, to H₁=2 · 2,6-22=5,2-22=-16,8
Jeśli r₂=15, to H₂=2 · 15-22=30-22=8
W przypadku pierwszej pary wyszła nam ujemna wysokość, więc odrzucamy całe to rozwiązanie. To oznacza, że jest tylko jedna para liczb, która spełnia warunki naszego zadania: r=15 oraz H=8.
Krok 5. Obliczenie objętości stożka.
Znając promień podstawy i wysokość stożka możemy już bez problemu obliczyć jego objętość:
V=1/3πr² H V=1/3 · 15² · 8π V=1/3 · 225 · 8π V=1/3 · 1800π V=600π
Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej.
P_c=πr · (r+l) P_c=π · 15 · (15+17) P_c=π · 15 · 32 P_c=480π
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.