Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze 100% pierwiastka pozostało 50% tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po x okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem y= (1/2)^x . W przypadku izotopu jodu ¹³¹I czas połowicznego rozpadu jest równy 8 dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z 1 g ¹³¹I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 24
I sposób - krok po kroku:
Skoro co 8 dni mamy o połowę mniej tego pierwiastka, to:
1g - tyle jest na początku
0,5 · 1g=0,5g - tyle jest po 8 dniach
0,5 · 0,5g=0,25g - tyle jest po 16 dniach
0,5 · 0,25g=0,125g - tyle jest po 24 dniach
To oznacza, że po 24 dniach tego pierwiastka zostanie nie więcej niż 0,125g.
II sposób - za pomocą nierówności wykładniczej:
Przyjmijmy, że:
x - liczba okresów (każdy po 8 dni)
(1/2)^x - tyle z pierwiastka zostanie po x okresach
Nas interesuje, kiedy z pierwiastka zostanie nie więcej niż 0,125g (czyli 1/8 g), zatem musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
(1/2)^x ≤ 0,125 (1/2)^x ≤ 1/8 (1/2)^x ≤ (1/2)³
Opuszczamy podstawę potęgi, ale przy okazji musimy zmienić jej znak (bo podstawa jest ułamkiem zwykłym). Otrzymamy zatem: x ≥ 3.
Taki wynik oznacza, że potrzeba minimum trzech okresów, aby zostało nie więcej niż 0,125g pierwiastka. Skoro każdy okres to 8 dni, to wyszło nam, że musi upłynąć przynajmniej 3 · 8=24 dni.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.