Zakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym rzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 7/60
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Zadanie już na samym początku może sprawiać problemy (zwłaszcza jeśli chodzi o samo zrozumienie treści), dlatego zastanówmy się jakie pary biletów moglibyśmy zakupić. Każdy bilet ma numer od 1 do 16 (na razie nie patrzymy na to jakie to są rzędy). Pierwszej osobie możemy dać bilet na 16 różnych sposobów (bo dostanie numer od 1 do 16). Drugiej osobie możemy dać bilet na 15 sposobów (bo jeden damy wcześniej innej osobie). Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć:
|Ω|=16 · 15=240
Jeśli nie umiemy sobie wyobrazić tej sytuacji, to możemy sobie, że pierwszy bilet dostaje Jaś, a drugi dostaje Małgosia, więc mamy następujące możliwości rozmieszczenia dzieci na sali kinowej:
(1,2), (1,3), (1,4)... (1,16) (2,1), (2,3), (2,4)... (2,16) ... (16,1), (16,2), (16,3)... (16,15)
Otrzymaliśmy 16 różnych wierszy, a w każdym wierszu jest 15 różnych możliwości (bo wykluczają nam się zdublowane opcje typu (1,1), (2,2) itd.). Łącznie jest ich więc 16 · 15=240.
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której numery biletów są sąsiadujące (czyli wtedy kiedy Jaś siedzi obok Małgosi). Wypiszmy sobie wszystkie pary, które spełniałyby warunki zadania. Zwróć uwagę, że jeśli Jaś siedzi na 1. miejscu, a Małgosia na 2. miejscu (czyli (1,2)) to jest to zupełnie inne zdarzenie niż Jaś siedzący na 2. miejscu i Małgosia siedząca na 1. miejscu (zdarzenie (2,1)). Zatem:
W pierwszym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) (2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9)
W szesnastym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
(11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16) (12,11), (13,12), (14,13), (15,14), (16,15)
Łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy: |A|=28.
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
P(A)=|A|/|Ω|=28/240=7/60
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.