Z sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości a odcięto ostrosłup ABDE (zobacz rysunek). Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?
Odpowiedzi do wyboru
- A.2 razy
- B.3 razy
- C.4 razy
- D.5 razy
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Musimy obliczyć pole powierzchni trójkąta ABD, który jest podstawą tego ostrosłupa. Jest to połowa kwadratu o boku a, zatem:
P_p=1/2 a²
Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Pole podstawy ostrosłupa obliczyliśmy przed chwilą. Wysokość ostrosłupa H=a, bo jest to sześcian, zatem:
V_o=1/3 P_p · H V_o=1/3 · 1/2 a² · a V_o=1/6 a³
Krok 3. Obliczenie objętości pozostałej części sześcianu.
Cały sześcian ma objętość równą V=a³. Aby więc obliczyć objętość pozostałej części (bo to do niej musimy się odnieść) to musimy od objętości sześcianu odjąć obliczoną przed chwilą objętość ostrosłupa:
V_p=a³-1/6 a³ V_p=5/6 a³
To oznacza, że objętość ostrosłupa jest pięciokrotnie mniejsza od pozostałej części sześcianu.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.