Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista a spełnia warunek a < 1, to 1/(1-a) ≥ 4a.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEMusimy wykazać, że dla a < 1 zachodzi nierówność 1/(1-a) ≥ 4a.
Krok 1: Określenie dziedziny
Warunek a < 1 zapewnia, że 1 - a > 0, więc wyrażenie 1/(1-a) jest dobrze określone.
Krok 2: Przekształcenie nierówności
Nierówność 1/(1-a) ≥ 4a przekształcamy do postaci wygodnej do analizy.
1/(1-a) - 4a ≥ 0
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
(1 - 4a(1-a))/(1-a) ≥ 0
(1 - 4a + 4a²)/(1-a) ≥ 0
(4a² - 4a + 1)/(1-a) ≥ 0
Krok 3: Analiza licznika
Zauważmy, że licznik to:
4a² - 4a + 1 = (2a)² - 2 · 2a · 1 + 1² = (2a - 1)²
Zatem:
(2a-1)²/(1-a) ≥ 0
Krok 4: Analiza znaku ułamka
- Licznik: (2a-1)² ≥ 0 dla każdego a ∈ R (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny)
- Mianownik: 1 - a > 0 dla a < 1 (z założenia)
Krok 5: Wniosek
Ponieważ: - licznik (2a-1)² ≥ 0 - mianownik 1-a > 0
to iloraz (2a-1)²/(1-a) ≥ 0.
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (2a-1)² = 0, czyli a = 1/2.
Podsumowanie:
Dla a < 1 nierówność 1/(1-a) ≥ 4a jest spełniona, co należało wykazać.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.