Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o dolnej podstawie ABC i górnej A'B'C'. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 60° . Pole ściany bocznej graniastosłupa jest równe 2√(3). Oblicz pole trójkąta ABC'.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(15)/2
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-32.png]
Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako a, a wysokość graniastosłupa jako h.
## Krok 2: Analiza kąta między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy
Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest prostokątem o wymiarach a × h.
Przekątna ściany bocznej ma długość √(a² + h²).
Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy wynosi 60°. Z definicji tangensa:
tan 60° = h/a
√(3) = h/a
h = a√(3)
## Krok 3: Wykorzystanie pola ściany bocznej
Pole ściany bocznej (prostokąta) wynosi:
P_(bocznej) = a · h = 2√(3)
Podstawiając h = a√(3):
a · a√(3) = 2√(3)
a²√(3) = 2√(3)
a² = 2
a = √(2)
Stąd:
h = √(2) · √(3) = √(6)
## Krok 4: Wyznaczenie wierzchołków trójkąta ABC'
Przyjmijmy układ współrzędnych: - A = (0, 0, 0) - B = (√(2), 0, 0) - C' = (√(2)/2, √(6)/2, √(6)) (górny wierzchołek odpowiadający C)
Punkt C' znajduje się w odległości a/√(3) = √(2)/√(3) = √(6)/3 od krawędzi AB (wysokość trójkąta równobocznego to a√(3)/2 = √(6)/2, a środek masy to 2/3 wysokości).
Poprawnie: C' = (√(2)/2, √(6)/2, √(6))
## Krok 5: Obliczenie pola trójkąta ABC'
Wektory: AB = (√(2), 0, 0)
AC' = (√(2)/2, √(6)/2, √(6))
Iloczyn wektorowy:
AB × AC' = i j k √(2) 0 0 √(2)/2 √(6)/2 √(6)
= i(0 · √(6) - 0 · √(6)/2) - j(√(2) · √(6) - 0 · √(2)/2) + k(√(2) · √(6)/2 - 0 · √(2)/2)
= (0, -√(12), √(12)/2) = (0, -2√(3), √(3))
Długość tego wektora:
|AB × AC'| = √(0² + (-2√(3))² + (√(3))²) = √(12 + 3) = √(15)
Pole trójkąta:
P_(ABC') = 1/2|AB × AC'| = √(15)/2
Odpowiedź: √(15)/2
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.