Wykaż, że jeśli liczby (3^a,3^b,3^c) tworzą ciąg geometryczny, to liczby (a,b,c) tworzą ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKE## Założenie
Liczby 3^a, 3^b, 3^c tworzą ciąg geometryczny.
## Warunek ciągu geometrycznego
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
(3^b)² = 3^a · 3^c
## Przekształcenie równania
Lewą stronę przekształcamy, stosując właścność potęg (x^m)^n = x^(m · n):
3^(2b) = 3^a · 3^c
Prawą stronę przekształcamy, stosując właścność potęg x^m · x^n = x^(m+n):
3^(2b) = 3^(a+c)
## Porównanie wykładników
Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie 3 jest różnowartościowa (jest rosnąca), równość potęg o tej samej podstawie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równe są wykładniki:
2b = a + c
## Warunek ciągu arytmetycznego
Przekształcamy otrzymane równanie:
2b = a + c
b - a = c - b
To jest właśnie warunek na ciąg arytmetyczny: różnica między drugim a pierwszym wyrazem jest równa różnicy między trzecim a drugim wyrazem. Równoważnie możemy zapisać:
a + c = 2b
co oznacza, że środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
## Wniosek
Udowodniliśmy, że jeśli liczby 3^a, 3^b, 3^c tworzą ciąg geometryczny, to liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny.
c.b.d.u.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.