Dany jest ciąg (a_n) o wyrazie ogólnym a_n=(2n+1)/(n+3). Liczby a₃,a₅ są wyrazami tego ciągu, a liczby (a₃,x,a₅) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.x=61/48
- B.x=61/96
- C.x=69/96
- D.x=69/48
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Oblicza się wyrazy a₃ i a₅ ciągu o wzorze ogólnym a_n=(2n+1)/(n+3).
Krok 1: Wyznaczenie a₃
a₃ = (2 · 3 + 1)/(3 + 3) = (6 + 1)/6 = 7/6
Krok 2: Wyznaczenie a₅
a₅ = (2 · 5 + 1)/(5 + 3) = (10 + 1)/8 = 11/8
Krok 3: Warunek ciągu arytmetycznego
Jeśli liczby a₃, x, a₅ tworzą ciąg arytmetyczny, to różnica między kolejnymi wyrazami musi być stała:
x - a₃ = a₅ - x
Krok 4: Rozwiązanie równania
x - a₃ = a₅ - x
2x = a₃ + a₅
x = (a₃ + a₅)/2
Podstawia się wartości:
x = (7/6 + 11/8)/2
Krok 5: Dodawanie ułamków
Sprowadza się do wspólnego mianownika (NWW(6,8) = 24):
7/6 = 7 · 4/(6 · 4) = 28/24
11/8 = 11 · 3/(8 · 3) = 33/24
7/6 + 11/8 = 28/24 + 33/24 = 61/24
Krok 6: Obliczenie x
x = 61/24/2 = 61/24 · 1/2 = 61/48
Odpowiedź: A
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.