Rozwiąż nierówność (4x-1)² < (2-5x)².
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: xε(-∞,1/3) ∪ (1,+∞)
Mamy nierówność (4x-1)² < (2-5x)².
Krok 1: Przekształcenie nierówności
Przenosimy wszystko na lewą stronę: (4x-1)² - (2-5x)² < 0
Krok 2: Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia
Używamy wzoru a² - b² = (a-b)(a+b), gdzie a = 4x-1 i b = 2-5x:
[(4x-1) - (2-5x)][(4x-1) + (2-5x)] < 0
Krok 3: Uproszczenie pierwszego nawiasu
(4x-1) - (2-5x) = 4x - 1 - 2 + 5x = 9x - 3 = 3(3x-1)
Krok 4: Uproszczenie drugiego nawiasu
(4x-1) + (2-5x) = 4x - 1 + 2 - 5x = -x + 1 = -(x-1)
Krok 5: Podstawienie do nierówności
3(3x-1) · (-(x-1)) < 0
-3(3x-1)(x-1) < 0
Dzielimy obie strony przez -3 i zmieniamy znak nierówności:
(3x-1)(x-1) > 0
Krok 6: Wyznaczenie miejsc zerowych
- 3x - 1 = 0 ⇒ x = 1/3 - x - 1 = 0 ⇒ x = 1
Krok 7: Analiza znaku iloczynu
Badamy znak wyrażenia (3x-1)(x-1) w przedziałach:
| Przedział | 3x-1 | x-1 | Iloczyn | |-----------|----------|---------|---------| | x < 1/3 | - | - | + | | 1/3 < x < 1 | + | - | - | | x > 1 | + | + | + |
Krok 8: Odczytanie rozwiązania
Nierówność (3x-1)(x-1) > 0 jest spełniona, gdy iloczyn jest dodatni:
x ∈ (-∞, 1/3) ∪ (1, +∞)
Odpowiedź: x ∈ (-∞, 1/3) ∪ (1, +∞)
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.