Dane są punkty A=(4,2) i B=(1,-3). Wyznacz współrzędne punktu C należącego do osi OY, tak aby |∢ACB|=90° .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C=(0,-2) lub C=(0,1)
Szukamy punktu C na osi OY, więc C = (0, y) dla pewnego y ∈ R.
Warunek |∠ACB| = 90° oznacza, że wektory CA i CB są prostopadłe.
## Krok 1: Wyznaczenie wektorów
CA = A - C = (4, 2) - (0, y) = (4, 2-y)
CB = B - C = (1, -3) - (0, y) = (1, -3-y)
## Krok 2: Warunek prostopadłości
Wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny równa się zero:
CA · CB = 0
4 · 1 + (2-y) · (-3-y) = 0
## Krok 3: Rozwiązanie równania
4 + (2-y)(-3-y) = 0
Rozwijamy nawias:
4 + (2)(-3) + (2)(-y) + (-y)(-3) + (-y)(-y) = 0
4 - 6 - 2y + 3y + y² = 0
y² + y - 2 = 0
## Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego
Szukamy rozkładu: y² + y - 2 = (y+2)(y-1) = 0
Stąd: y = -2 lub y = 1
## Krok 5: Odpowiedź
Punkt C ma współrzędne:
C = (0, -2) lub C = (0, 1)
Weryfikacja dla C = (0, -2): - CA = (4, 4), CB = (1, -1) - CA · CB = 4 · 1 + 4 · (-1) = 4 - 4 = 0 ✓
Weryfikacja dla C = (0, 1): - CA = (4, 1), CB = (1, -4) - CA · CB = 4 · 1 + 1 · (-4) = 4 - 4 = 0 ✓
Odpowiedź: C = (0, -2) lub C = (0, 1)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.