Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 4 i 6 . Pole tego trójkąta jest równe 3√(15). Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach 4 i 6 ma miarę α > 90° , to:
Odpowiedzi do wyboru
- A.cos α=√(15)/4
- B.cos α=1/4
- C.cos α=-√(15)/4
- D.cos α=-1/4
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-17.png]
Dane: - Boki trójkąta: a = 4 i b = 6 - Pole trójkąta: P = 3√(15) - Kąt α między tymi bokami, α> 90°
Krok 2: Wykorzystanie wzoru na pole trójkąta
Pole trójkąta można wyrazić wzorem: P = 1/2 absinα
Podstawiamy dane: 3√(15) = 1/2 · 4 · 6 · sinα
3√(15) = 12sinα
sinα= 3√(15)/12 = √(15)/4
Krok 3: Znajdowanie cosα z jedynki trygonometrycznej
Korzystamy z tożsamości: sin²α+ cos²α= 1
cos²α= 1 - sin²α= 1 - (√(15)/4)²
cos²α= 1 - 15/16 = 1/16
cosα= ± 1/4
Krok 4: Wybór właściwego znaku
Z warunku zadania wiemy, że α> 90°, czyli kąt jest rozwarty.
Dla kąta rozwartego (z II ćwiartki układu współrzędnych): - sinα> 0 ✓ (co zgadza się z sinα= √(15)/4 > 0) - cosα< 0
Dlatego: cosα= -1/4
Odpowiedź: D
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.