Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a(2√(3)-3)
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-30.png]
Oznaczmy długość boku kwadratu przez x.
## Układ współrzędnych
Umieśćmy trójkąt równoboczny w układzie współrzędnych tak, że: - podstawa leży na osi Ox, od punktu (0, 0) do (a, 0) - trzeci wierzchołek ma współrzędne (a/2, a√(3)/2)
Wysokość trójkąta równobocznego wynosi h = a√(3)/2.
## Pozycja kwadratu
Kwadrat ma: - jeden bok na podstawie trójkąta (na osi Ox) - bok długości x - wysokość x
Ze względu na symetrię, kwadrat jest wyśrodkowany. Jego dolne wierzchołki to: ((a-x)/2, 0) i ((a+x)/2, 0)
Górne wierzchołki kwadratu to: ((a-x)/2, x) i ((a+x)/2, x)
## Równanie boku trójkąta
Lewy bok trójkąta łączy punkty (0, 0) i (a/2, a√(3)/2).
Równanie tej prostej: (y-0)/(x-0) = (a√(3)/2 - 0)/(a/2 - 0) = √(3)
Zatem: y = √(3)x
## Warunek przynależności wierzchołka
Lewy górny wierzchołek kwadratu ((a-x)/2, x) musi leżeć na lewym boku trójkąta.
Podstawiamy do równania prostej: x = √(3) · (a-x)/2
x = √(3)(a-x)/2
2x = √(3)a - √(3)x
2x + √(3)x = √(3)a
x(2 + √(3)) = √(3)a
x = √(3)a/(2 + √(3))
## Racjonalizacja mianownika
Mnożymy licznik i mianownik przez 2 - √(3):
x = √(3)a(2 - √(3))/((2 + √(3))(2 - √(3))) = √(3)a(2 - √(3))/(4 - 3) = √(3)a(2 - √(3))
x = 2√(3)a - √(3) · √(3) · a = 2√(3)a - 3a
x = a(2√(3) - 3)
## Odpowiedź
Długość boku kwadratu wynosi a(2√(3) - 3).
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.