Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od 0. Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 0. Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.1000a₁
- B.1001a₁
- C.10
- D.0
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jako a₁, a iloraz jako q.
Krok 1: Zapisanie warunku z treści zadania
Siódmy wyraz: a₇ = a₁ · q⁶
Ósmy wyraz: a₈ = a₁ · q⁷
Z treści zadania: a₇ + a₈ = 0
Krok 2: Rozwiązanie równania
a₁ · q⁶ + a₁ · q⁷ = 0
Wyłączamy a₁ · q⁶ przed nawias: a₁ · q⁶(1 + q) = 0
Ponieważ a₁ ≠ 0 (wyrazy ciągu są różne od 0) i q⁶ ≠ 0 (bo wtedy wszystkie wyrazy od 7. byłyby równe 0), musi zachodzić: 1 + q = 0 q = -1
Krok 3: Obliczenie sumy 1000 początkowych wyrazów
Dla ciągu geometrycznego o ilorazie q = -1:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ...+ a_n
Podstawiając wartości wyrazów: - a₁ = a₁ - a₂ = a₁ · (-1) = -a₁ - a₃ = a₁ · (-1)² = a₁ - a₄ = a₁ · (-1)³ = -a₁ - itd.
Wyrazy grupują się w pary: (a₁ - a₁) + (a₁ - a₁) + ...= 0 + 0 + ...
Ponieważ 1000 jest liczbą parzystą, mamy dokładnie 500 takich par:
S₁₀₀₀ = (a₁ - a₁)_(=0) + (a₁ - a₁)_(=0) + ...+ (a₁ - a₁)_(=0) = 0
Alternatywnie, ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego dla q ≠ 1: S_n = a₁ · (1-q^n)/(1-q) = a₁ · (1-(-1)¹⁰⁰⁰)/(1-(-1)) = a₁ · (1-1)/2 = 0
Odpowiedź: D
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.