Liczba a=14√(2)/(√(2)-3) należy do przedziału:
Odpowiedzi do wyboru
- A.(-∞,-13)
- B.⟨-13,-12)
- C.(12,13⟩
- D.(13,+∞)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Trzeba obliczyć wartość wyrażenia a=14√(2)/(√(2)-3) i określić, do którego przedziału należy.
## Krok 1: Usunięcie niewymierności z mianownika
Mnoży się licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika, czyli przez √(2)+3:
a = 14√(2)/(√(2)-3) · (√(2)+3)/(√(2)+3)
## Krok 2: Obliczenie mianownika
Wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia (a-b)(a+b) = a² - b²:
(√(2)-3)(√(2)+3) = (√(2))² - 3² = 2 - 9 = -7
## Krok 3: Obliczenie licznika
14√(2) · (√(2)+3) = 14√(2) · √(2) + 14√(2) · 3
= 14 · 2 + 42√(2) = 28 + 42√(2)
## Krok 4: Uproszczenie ułamka
a = (28 + 42√(2))/-7 = 28/-7 + 42√(2)/-7
a = -4 - 6√(2)
## Krok 5: Określenie wartości liczbowej
Wiadomo, że √(2) ≈ 1,414, więc:
a = -4 - 6√(2) ≈ -4 - 6 · 1,414 = -4 - 8,484 = -12,484
## Krok 6: Dokładniejsze oszacowanie
Aby dokładnie określić przedział, sprawdza się: - Czy a ≥ -13? - Czy a < -12?
Dla a = -4 - 6√(2):
a ≥ -13 -4 - 6√(2) ≥ -13 -6√(2) ≥ -9 6√(2) ≤ 9 √(2) ≤ 1,5
To jest prawda, bo √(2) ≈ 1,414 < 1,5.
a < -12 -4 - 6√(2) < -12 -6√(2) < -8 6√(2) > 8 √(2) > 4/3 ≈ 1,333
To jest prawda, bo √(2) ≈ 1,414 > 1,333.
Zatem -13 ≤ a < -12.
Odpowiedź: B
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.