W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne różnią się o 4, a jeden z kątów ma miarę 30° . Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość:
Odpowiedzi do wyboru
- A.2√(3)/3
- B.2√(3)/6
- C.2√(3)-2
- D.2√(3)+2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-14.png]
Oznaczmy krótszą przyprostokątną przez a, a dłuższą przez b.
Dane: - Przyprostokątne różnią się o 4: b = a + 4 - Jeden z kątów ostrych ma miarę 30°
Krok 2: Ustalenie konfiguracji kątów
W trójkącie prostokątnym z kątem prostym 90° i kątem ostrym 30°, trzeci kąt ma miarę: 90° + 30° + α= 180° α= 60°
Krok 3: Relacje w trójkącie 30-60-90
Krótsza przyprostokątna leży naprzeciwko mniejszego kąta ostrego (30°), dłuższa naprzeciwko większego (60°).
Wykorzystamy tangens: tan(30°) = a/b
Wiemy, że tan(30°) = √(3)/3, więc: √(3)/3 = a/b
Krok 4: Podstawienie b = a + 4
√(3)/3 = a/(a + 4)
Mnożymy obie strony przez 3(a + 4): √(3)(a + 4) = 3a
√(3) · a + 4√(3) = 3a
4√(3) = 3a - √(3) · a
4√(3) = a(3 - √(3))
Krok 5: Rozwiązanie równania
a = 4√(3)/(3 - √(3))
Mnożymy licznik i mianownik przez 3 + √(3) (sprzężenie): a = 4√(3)(3 + √(3))/((3 - √(3))(3 + √(3)))
a = (4√(3) · 3 + 4√(3) · √(3))/(9 - 3)
a = (12√(3) + 4 · 3)/6
a = (12√(3) + 12)/6
a = 12(√(3) + 1)/6
a = 2(√(3) + 1) = 2√(3) + 2
Odpowiedź: D
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.