Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem S_n=3n²+4n. Piąty wyraz tego ciągu jest równy: a₅=?
Odpowiedzi do wyboru
- A.45
- B.31
- C.21
- D.11
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Mamy wzór na sumę n początkowych wyrazów: S_n = 3n² + 4n.
Krok 1: Wykorzystamy zależność między sumą a wyrazami ciągu.
Dla n ≥ 2 zachodzi: a_n = S_n - S_(n-1)
Krok 2: Obliczamy S₅ (suma 5 pierwszych wyrazów).
S₅ = 3 · 5² + 4 · 5 = 3 · 25 + 20 = 75 + 20 = 95
Krok 3: Obliczamy S₄ (suma 4 pierwszych wyrazów).
S₄ = 3 · 4² + 4 · 4 = 3 · 16 + 16 = 48 + 16 = 64
Krok 4: Obliczamy piąty wyraz ciągu.
a₅ = S₅ - S₄ = 95 - 64 = 31
Sprawdzenie: Możemy zweryfikować, że to rzeczywiście ciąg arytmetyczny. - a₁ = S₁ = 3 · 1 + 4 · 1 = 7 - a₂ = S₂ - S₁ = (12 + 8) - 7 = 13 - a₃ = S₃ - S₂ = (27 + 12) - 20 = 19
Różnica: r = 13 - 7 = 6, więc a₅ = 7 + 4 · 6 = 31 ✓
Odpowiedź: B
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.