Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 3n³+18n²+15n jest podzielna przez 6.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Rozpisanie liczby.
Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie przed nawias wartości 3n i rozpisanie naszej liczby w następujący sposób:
3n³+18n²+15n=3n · (n²+6n+5)
Musimy teraz rozbić wyrażenie n²+6n+5 na postać iloczynową. Jeśli mamy dużą wprawę, to od ręki możemy zapisać, że to będzie równe (n+1)(n+5). Jeśli jednak nie jesteśmy w stanie tego wyznaczyć w pamięci, to możemy zachować się dokładnie tak samo jak przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, więc korzystamy z delty:
Współczynniki: a=1, b=6, c=5
Δ=b²-4ac=6²-4 · 1 · 5=36-20=16 √(Δ)=√(16)=4
n₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-6-4)/(2 · 1)=-10/2=-5 n₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-6+4)/(2 · 1)=-2/2=-1
To pozwala nam stwierdzić, że:
n²+6n+5=(n-(-5)) · (n-(-1))=(n+5)(n+1)
Zapisalibyśmy więc, że nasza liczba jest równa:
3n · (n+1)(n+5)
Dla lepszego zobrazowania możemy to sobie nawet przedstawić w taki oto sposób:
3 · n · (n+1) · (n+5)
Krok 2. Wykazanie podzielności przez 6.
Widzimy, że nasza liczba na pewno jest podzielna przez 3 (świadczy o tym ta trójka, która stoi na samym początku). Powinniśmy teraz dostrzec, że n · (n+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Taka liczba jest zatem parzysta, czyli podzielna przez 2. Wniosek z tego płynie taki, że nasza liczba jest podzielna przez 3 i 2 jednocześnie, a to oznacza, że będzie także podzielna przez 6, co należało udowodnić.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.