Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-1/2). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wyraz a₂₀₂₃ jest liczbą ujemną. P F Różnica a₃ - a₂ jest równa 96. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: FP
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Spróbujmy ustalić jak będą wyglądać początkowe wyrazy naszego ciągu. Skoro a₁=128 i q=-1/2, to otrzymamy taką oto sytuację:
128; -64; 32; -16; ...
Powinniśmy dostrzec, że mamy tutaj klasyczny ciąg niemonotoniczny, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Widzimy, że nieparzyste wyrazy są dodatnie, a parzyste ujemne. Wyraz a₂₀₂₃ jest wyrazem nieparzystym, czyli będzie on na pewno dodatni, zatem zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W poprzednim kroku obliczyliśmy, że a₃=32, natomiast a₂=-64. Różnica tych dwóch wartości wyniesie zatem:
32-(-64)=32+64=96
Zdanie jest więc prawdą.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.