Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A. 216+18√(3) B. 216+54√(3) C. 216+216√(3) D. 216+108√(3) b) Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) D b) 2√(5)/5
a) Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy sześciokąt foremny o boku długości 6. Sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Pole pojedynczego trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru P=a²√(3)/4, zatem pole całego sześciokąta będzie sześciokrotnie większe, czyli:
P_p=6 · a²√(3)/4 P_p=6 · 6²√(3)/4 P_p=6 · 36√(3)/4 P_p=6 · 9√(3) P_p=54√(3)
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Ściany boczne naszego graniastosłupa będą kwadratami o boku 6. Mamy sześć takich ścian, zatem pole powierzchni bocznej będzie równe:
P_b=6 · 6 · 6 P_b=216
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą dwa pola podstawy oraz pole powierzchni bocznej, zatem:
P_c=2 · 54√(3)+216 P_c=216+108√(3)
Odpowiedź: D
b) Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy pamiętać, że sześciokąt foremny (który znajduje się w podstawie) ma tak zwane dłuższe i krótsze przekątne. Nas interesuje ta dłuższa przekątna.
Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przekątnej podstawy.
Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi, czyli ma ona długość:
d=2 · 6=12
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
12²+6²=s² 144+36=s² s²=180 s=√(180)=√(36 · 5)=6√(5)
Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta.
Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
cosα=12/(6√(5)) cosα=2/√(5)=2 · √(5)/(√(5) · √(5))=2√(5)/5
Odpowiedź: cosα=2√(5)/5
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.