Matura poprawkowa sierpień 2023 - matematyka, rozwiązania arkusza

O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2023

Matura poprawkowa z matematyki z sierpnia 2023 to arkusz dla maturzystów, którzy nie zdali egzaminu w sesji majowej lub czerwcowej tego samego roku. Arkusz zawierał 36 zadań: 24 zamknięte i 12 otwartych, za łącznie 45 punktów. Próg zdawalności to 14 punktów (30%).

Ten arkusz wyróżnia się silnym naciskiem na ciągi (4 zadania za 8 punktów) i planimetrię (5 zadań za 6 punktów). Ciągi to dział, który wielu maturzystów zaniedbuje, a jak widać - CKE potrafi z niego wycisnąć aż 8 punktów. Jeśli przygotowujesz się do matury, koniecznie poświęć czas na ciągi arytmetyczne i geometryczne.

Porównaj ten arkusz z maturą poprawkową z sierpnia 2024 - zobaczysz, jak zmienił się rozkład kategorii między latami.

Rozkład kategorii w arkuszu

Interesujący jest tu rozkład - aż 14 różnych kategorii. Arkusz testuje szeroką wiedzę, zamiast koncentrować się na 2-3 działach jak matura z sierpnia 2024. To ważna lekcja: musisz znać podstawy ze wszystkich działów, bo na maturze poprawkowej CKE może zapytać o dosłownie wszystko.

Analiza trudności

Łatwe punkty (zadania 1-10, ok. 12 pkt)

Standardowy początek: potęgi, liczby rzeczywiste, proste zadania z funkcji. Te punkty trzeba zdobyć bezwarunkowo.

Średnie zadania (zadania 11-24, ok. 20 pkt)

Ciągi arytmetyczne i geometryczne, planimetria (twierdzenie Pitagorasa, pola figur), geometria analityczna. Tu kluczowe jest solidne opanowanie wzorów z tablic maturalnych.

Trudne zadania (zadania 25-36, ok. 13 pkt)

Zadania otwarte wieloetapowe: dowodzenie, planimetria z trygonometrią, prawdopodobieństwo warunkowe. Te punkty zapewniają wynik powyżej 70%.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\frac{3^{10} + 3^{10} + 3^{10}}{3^{11}}$ jest równa

A. $1$    B. $3$    C. $\frac{1}{3}$    D. $\frac{10}{11}$

Rozwiązanie:

W liczniku mamy trzy jednakowe składniki:

$$\frac{3^{10} + 3^{10} + 3^{10}}{3^{11}} = \frac{3 \cdot 3^{10}}{3^{11}} = \frac{3^{11}}{3^{11}} = 1$$

To klasyczny trick CKE - trzy jednakowe potęgi w liczniku dają mnożenie przez 3. Bardzo ważne, żeby nie próbować dodawać wykładników (częsty błąd: $3^{10} + 3^{10} \neq 3^{20}$).

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 5 - Geometria analityczna (1 pkt) ↗

Treść: Punkt $A = (3, -2)$ należy do okręgu o środku $S = (1, 1)$. Oblicz promień tego okręgu.

Rozwiązanie:

Promień to odległość punktu $A$ od środka $S$:

$$r = \sqrt{(3-1)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

Wzór na odległość dwóch punktów to absolutna podstawa geometrii analitycznej. Jeśli jeszcze go nie znasz na pamięć, musisz to zmienić - pojawia się praktycznie na każdym arkuszu. Ćwicz w dziale geometria analityczna.

Odpowiedź: C

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 10 - Ciągi (1 pkt) ↗

Treść: Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, a różnica ciągu wynosi $d = -3$. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie:

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o $d$:

$$a_5 = a_3 + 2d = 7 + 2 \cdot (-3) = 7 - 6 = 1$$

Można też skorzystać ze wzoru ogólnego. Najpierw $a_1$:

$$a_3 = a_1 + 2d \implies 7 = a_1 + 2(-3) \implies a_1 = 13$$ $$a_5 = a_1 + 4d = 13 + 4(-3) = 13 - 12 = 1$$

Oba podejścia dają ten sam wynik. Pierwsze jest szybsze i bardziej eleganckie - na maturze czas jest cenny.

Odpowiedź: B

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 16 - Planimetria (1 pkt) ↗

Treść: W trójkącie równoramiennym ramię ma długość 10, a podstawa ma długość 12. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Połowa podstawy wynosi 6, a ramię to przeciwprostokątna o długości 10.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$$h^2 + 6^2 = 10^2$$
$$h^2 = 100 - 36 = 64$$
$$h = 8$$

Pole trójkąta:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$

Trójkąt o bokach 6-8-10 to trójkąt pitagorejski (pomnożona trójka 3-4-5). CKE uwielbia tę trójkę - warto ją zapamiętać, żeby szybko rozpoznawać takie zadania.

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 25 - Ciągi (2 pkt) ↗

Treść: Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 21, a ich iloczyn jest równy 280. Wyznacz te wyrazy.

Rozwiązanie:

Oznaczmy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego jako $a-d$, $a$, $a+d$. Wtedy:

Suma: $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 21$, więc $a = 7$.

Iloczyn: $(7-d) \cdot 7 \cdot (7+d) = 280$

$$7(49 - d^2) = 280$$
$$49 - d^2 = 40$$
$$d^2 = 9$$
$$d = 3 \quad \text{lub} \quad d = -3$$

Dla $d = 3$: wyrazy to $4, 7, 10$.
Dla $d = -3$: wyrazy to $10, 7, 4$.

Oznaczenie trzech kolejnych wyrazów jako $a-d, a, a+d$ to standardowy trick, który eliminuje jedną niewiadomą. Zapamiętaj go - CKE regularnie daje zadania tego typu. Więcej ćwiczeń z ciągów znajdziesz w dziale ciągi.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 30 - Równania i nierówności (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $\frac{x+1}{x-2} \geq 0$.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy miejsca zerowe licznika i mianownika:

Tworzymy tabelę znaków:

Nierówność $\geq 0$ jest spełniona dla $x \in (-\infty, -1] \cup (2, +\infty)$.

Uwaga: $x = -1$ jest w rozwiązaniu (bo nierówność jest nieostra), ale $x = 2$ nie (bo mianownik byłby zerowy).

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 36 - Planimetria (4 pkt) ↗

Treść: W trapezie równoramiennym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB = 16$, krótsza podstawa $CD = 10$, a ramię $BC = 5$. Oblicz pole trapezu i długość przekątnej $AC$.

Rozwiązanie:

Krok 1: Obliczamy wysokość trapezu.

Opuszczamy wysokości z wierzchołków $C$ i $D$ na podstawę $AB$. Odcinki "wystające" poza krótszą podstawę mają łączną długość $16 - 10 = 6$, a ponieważ trapez jest równoramienny, każdy z nich ma długość $3$.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$$h^2 + 3^2 = 5^2$$
$$h^2 = 25 - 9 = 16$$
$$h = 4$$

Krok 2: Pole trapezu:

$$P = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(16 + 10) \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52$$

Krok 3: Przekątna $AC$.

Wprowadzamy układ współrzędnych: $A = (0, 0)$, $B = (16, 0)$. Wtedy $D = (3, 4)$ i $C = (13, 4)$.

$$AC = \sqrt{13^2 + 4^2} = \sqrt{169 + 16} = \sqrt{185}$$

To typowe zadanie za 4 punkty z planimetrii. Wymaga kilku kroków i umiejętności łączenia wzorów. Przygotuj się rozwiązując więcej zadań z planimetrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 36 zadań z rozwiązaniami są dostępne na Sprawnej Maturze:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-4 pkt):

Cały arkusz: Matura sierpień 2023 - wszystkie zadania

Wnioski i wskazówki

1. Ciągi za 8 punktów - to bardzo dużo. Opanuj wzory na wyraz ogólny i sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Wszystkie są w tablicach, ale musisz umieć je stosować. Ćwicz: zadania z ciągów.
2. Planimetria to 5 zadań - twierdzenie Pitagorasa, pole trójkąta, pole trapezu, kąty w trójkącie. Większość wymaga rysunku i rozbicia na mniejsze figury.
3. 14 kategorii - arkusz testował szeroką wiedzę. Nie możesz pozwolić sobie na luki w żadnym dziale.
4. Trójki pitagorejskie - zapamiętaj: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17). CKE często ukrywa je w zadaniach z planimetrii.

Sprawdź też maturę z czerwcowej sesji dodatkowej 2023 i maturę z maja 2023, żeby przećwiczyć cały rocznik.

Zacznij ćwiczyć

Na Sprawnej Maturze znajdziesz ponad 2400 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. Wejdź na stronę z losowym zadaniem i rozwiąż choćby jedno zadanie dziennie - regularna praktyka to klucz do zdania matury!