Matura poprawkowa sierpień 2023 - matematyka, rozwiązania arkusza

O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2023

Matura poprawkowa z matematyki z sierpnia 2023 to arkusz dla maturzystów, którzy nie zdali egzaminu w sesji majowej lub czerwcowej tego samego roku. Arkusz zawierał 36 zadań: 24 zamknięte i 12 otwartych, za łącznie 46 punktów. Próg zdawalności to 14 punktów (30%).

Ten arkusz wyróżnia się silnym naciskiem na ciągi (4 zadania za 8 punktów) i planimetrię (5 zadań za 6 punktów). Ciągi to dział, który wielu maturzystów zaniedbuje, a jak widać - CKE potrafi z niego wycisnąć aż 8 punktów. Jeśli przygotowujesz się do matury, koniecznie poświęć czas na ciągi arytmetyczne i geometryczne.

Porównaj ten arkusz z maturą poprawkową z sierpnia 2024 - zobaczysz, jak zmienił się rozkład kategorii między latami.

Rozkład kategorii w arkuszu

Interesujący jest tu rozkład - aż 14 różnych kategorii. Arkusz testuje szeroką wiedzę, zamiast koncentrować się na 2-3 działach jak matura z sierpnia 2024. To ważna lekcja: musisz znać podstawy ze wszystkich działów, bo na maturze poprawkowej CKE może zapytać o dosłownie wszystko.

Analiza trudności

Łatwe punkty (zadania 1-10, ok. 12 pkt)

Standardowy początek: potęgi, liczby rzeczywiste, proste zadania z funkcji. Te punkty trzeba zdobyć bezwarunkowo.

Średnie zadania (zadania 11-24, ok. 20 pkt)

Ciągi arytmetyczne i geometryczne, planimetria (twierdzenie Pitagorasa, pola figur), geometria analityczna. Tu kluczowe jest solidne opanowanie wzorów z tablic maturalnych.

Trudne zadania (zadania 25-36, ok. 13 pkt)

Zadania otwarte wieloetapowe: dowodzenie, planimetria z trygonometrią, prawdopodobieństwo warunkowe. Te punkty zapewniają wynik powyżej 70%.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

Treść: Wartość wyrażenia $\frac{3^{10} + 3^{10} + 3^{10}}{3^{11}}$ jest równa

• A$1$
• B$3$
• C$\frac{1}{3}$
• D$\frac{10}{11}$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

W liczniku mamy trzy jednakowe składniki:

$\frac{3^{10} + 3^{10} + 3^{10}}{3^{11}} = \frac{3 \cdot 3^{10}}{3^{11}} = \frac{3^{11}}{3^{11}} = 1$

To klasyczny trick CKE - trzy jednakowe potęgi w liczniku dają mnożenie przez 3. Bardzo ważne, żeby nie próbować dodawać wykładników (częsty błąd: $3^{10} + 3^{10} \neq 3^{20}$).

Odpowiedź: A

---

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 5 - Geometria analityczna (1 pkt)

Treść: Punkt $A = (3, -2)$ należy do okręgu o środku $S = (1, 1)$. Oblicz promień tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Promień to odległość punktu $A$ od środka $S$:

$r = \sqrt{(3-1)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Wzór na odległość dwóch punktów to absolutna podstawa geometrii analitycznej. Jeśli jeszcze go nie znasz na pamięć, musisz to zmienić - pojawia się praktycznie na każdym arkuszu. Ćwicz w dziale geometria analityczna.

Odpowiedź: C

---

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 10 - Ciągi (1 pkt)

Treść: Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, a różnica ciągu wynosi $d = -3$. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o $d$:

$a_5 = a_3 + 2d = 7 + 2 \cdot (-3) = 7 - 6 = 1$

Można też skorzystać ze wzoru ogólnego. Najpierw $a_1$:

$a_3 = a_1 + 2d \implies 7 = a_1 + 2(-3) \implies a_1 = 13$ $a_5 = a_1 + 4d = 13 + 4(-3) = 13 - 12 = 1$

Oba podejścia dają ten sam wynik. Pierwsze jest szybsze i bardziej eleganckie - na maturze czas jest cenny.

Odpowiedź: B

---

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 16 - Planimetria (1 pkt)

Treść: W trójkącie równoramiennym ramię ma długość 10, a podstawa ma długość 12. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Połowa podstawy wynosi 6, a ramię to przeciwprostokątna o długości 10.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2 + 6^2 = 10^2$
$h^2 = 100 - 36 = 64$
$h = 8$

Pole trójkąta:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$

Trójkąt o bokach 6-8-10 to trójkąt pitagorejski (pomnożona trójka 3-4-5). CKE uwielbia tę trójkę - warto ją zapamiętać, żeby szybko rozpoznawać takie zadania.

Odpowiedź: A

---

Zadanie 25 - Ciągi (2 pkt)

Treść: Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 21, a ich iloczyn jest równy 280. Wyznacz te wyrazy.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Oznaczmy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego jako $a-d$, $a$, $a+d$. Wtedy:

Suma: $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 21$, więc $a = 7$.

Iloczyn: $(7-d) \cdot 7 \cdot (7+d) = 280$

$7(49 - d^2) = 280$
$49 - d^2 = 40$
$d^2 = 9$
$d = 3 \quad \text{lub} \quad d = -3$

Dla $d = 3$: wyrazy to $4, 7, 10$.
Dla $d = -3$: wyrazy to $10, 7, 4$.

Oznaczenie trzech kolejnych wyrazów jako $a-d, a, a+d$ to standardowy trick, który eliminuje jedną niewiadomą. Zapamiętaj go - CKE regularnie daje zadania tego typu. Więcej ćwiczeń z ciągów znajdziesz w dziale ciągi.

---

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 30 - Równania i nierówności (2 pkt)

Treść: Rozwiąż nierówność $\frac{x+1}{x-2} \geq 0$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wyznaczamy miejsca zerowe licznika i mianownika:

• •Licznik: $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• •Mianownik: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ (wartość wykluczona z dziedziny)

Tworzymy tabelę znaków:

Przedział	$x+1$	$x-2$	$\frac{x+1}{x-2}$
$x < -1$	$-$	$-$	$+$
$-1 < x < 2$	$+$	$-$	$-$
$x > 2$	$+$	$+$	$+$

Nierówność $\geq 0$ jest spełniona dla $x \in (-\infty, -1] \cup (2, +\infty)$.

---

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 36 - Planimetria (4 pkt)

Treść: W trapezie równoramiennym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB = 16$, krótsza podstawa $CD = 10$, a ramię $BC = 5$. Oblicz pole trapezu i długość przekątnej $AC$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Obliczamy wysokość trapezu.

   Opuszczamy wysokości z wierzchołków $C$ i $D$ na podstawę $AB$. Odcinki "wystające" poza krótszą podstawę mają łączną długość $16 - 10 = 6$, a ponieważ trapez jest równoramienny, każdy z nich ma długość $3$.

   Z twierdzenia Pitagorasa:

   $h^2 + 3^2 = 5^2$
   $h^2 = 25 - 9 = 16$
   $h = 4$
2. Krok 2

   Pole trapezu:

   $P = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(16 + 10) \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52$
3. Krok 3

   Przekątna $AC$.

   Wprowadzamy układ współrzędnych: $A = (0, 0)$, $B = (16, 0)$. Wtedy $D = (3, 4)$ i $C = (13, 4)$.

   $AC = \sqrt{13^2 + 4^2} = \sqrt{169 + 16} = \sqrt{185}$

   To typowe zadanie za 4 punkty z planimetrii. Wymaga kilku kroków i umiejętności łączenia wzorów. Przygotuj się rozwiązując więcej zadań z planimetrii.

Wylosuj podobne zadanie

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Poniżej znajdziesz 31 z 33 zadań, jakie mamy z tego arkusza w naszej bazie, każde z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie:

Zadania zamknięte (1 pkt):

• •Zadanie 1 - Potęgi: sumowanie potęg
• •Zadanie 2 - Potęgi i pierwiastki
• •Zadanie 3 - Liczby rzeczywiste
• •Zadanie 4 - Potęgi
• •Zadanie 5 - Geometria analityczna: okrąg
• •Zadanie 6 - Funkcje
• •Zadanie 7 - Geometria analityczna
• •Zadanie 8 - Funkcja liniowa
• •Zadanie 9 - Planimetria
• •Zadanie 10 - Ciągi: wyraz ciągu arytmetycznego
• •Zadanie 11 - Funkcje
• •Zadanie 12 - Równania i nierówności
• •Zadanie 13 - Ciągi
• •Zadanie 18 - Wyrażenia algebraiczne
• •Zadanie 19 - Prawdopodobieństwo
• •Zadanie 20 - Funkcja kwadratowa
• •Zadanie 21 - Geometria analityczna
• •Zadanie 22 - Funkcje
• •Zadanie 23 - Potęgi
• •Zadanie 24 - Planimetria

Zadania otwarte (2-4 pkt):

• •Zadanie 25 - Ciągi: trzy kolejne wyrazy (2 pkt)
• •Zadanie 26 - Liczby rzeczywiste (2 pkt)
• •Zadanie 27 - Równania i nierówności (2 pkt)
• •Zadanie 28 - Funkcja liniowa (2 pkt)
• •Zadanie 29 - Geometria analityczna (2 pkt)
• •Zadanie 30 - Równania i nierówności: nierówność wymierna (2 pkt)
• •Zadanie 31 - Ciągi (2 pkt)
• •Zadanie 35 - Statystyka (2 pkt)
• •Zadanie 36 - Planimetria: trapez (4 pkt)
• •Zadanie 37 - Geometria analityczna (4 pkt)
• •Zadanie 38 - Funkcje (4 pkt)

Cały arkusz: Matura sierpień 2023 - wszystkie zadania

Wnioski i wskazówki

1. 1.Ciągi za 8 punktów - to bardzo dużo. Opanuj wzory na wyraz ogólny i sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Wszystkie są w tablicach, ale musisz umieć je stosować. Ćwicz: zadania z ciągów.
2. 2.Planimetria to 5 zadań - twierdzenie Pitagorasa, pole trójkąta, pole trapezu, kąty w trójkącie. Większość wymaga rysunku i rozbicia na mniejsze figury.
3. 3.14 kategorii - arkusz testował szeroką wiedzę. Nie możesz pozwolić sobie na luki w żadnym dziale.
4. 4.Trójki pitagorejskie - zapamiętaj: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17). CKE często ukrywa je w zadaniach z planimetrii.

Sprawdź też maturę z czerwcowej sesji dodatkowej 2023 i maturę z maja 2023, żeby przećwiczyć cały rocznik.

Zacznij ćwiczyć

Na Sprawnej Maturze znajdziesz ponad 2300 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. Wejdź na stronę z losowym zadaniem i rozwiąż choćby jedno zadanie dziennie - regularna praktyka to klucz do zdania matury!

Następny krok Losuj kolejne zadanie