Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że: przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x) = 196x koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x) = 4x² + 4x + 240 Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 24 krzesła2064 zł zysku
Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zgodnie ze wskazówką, zysk to różnica między przychodami i kosztami. Spróbujmy zatem wyznaczyć wzór funkcji, która opisze nam ten zysk. Moglibyśmy zapisać, że:
Z(x)=P(x)-K(x) Z(x)=196x-(4x²+4x+240) Z(x)=196x-4x²-4x-240 Z(x)=-4x²+192x-240
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej p wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych krzeseł, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja Z(x)=-4x²+192x-240 jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik a jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji Z(x). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.
Obliczmy zatem współrzędną p wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru p=-b/(2a) i wiedząc, że a=-4 oraz b=192, możemy zapisać, że:
p=-192/(2 · (-4)) p=-192/-8 p=24
To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu x=24. Ta wartość mieści się w przedziale x ∈ ⟨0;30⟩ (bo zakład jest w stanie wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji 24 krzeseł dziennie.
Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba krzeseł będzie równa x=24. To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć, podstawiając x=24 do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli Z(x)=-4x²+192x-240:
Z(24)=-4 · (24)²+192 · 24-240 Z(24)=-4 · 576+4608-240 Z(24)=-2304+4608-240 Z(24)=2064
To oznacza, że największy zysk wynosi 2064 złotych.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.