Funkcje A, B, C, D, E oraz F są określone dla każdej liczby rzeczywistej x. Wzory tych funkcji podano poniżej. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Przedział (-∞, 2] jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .
Odpowiedzi do wyboru
- A.A(x) = -(x - 3)² + 2
- B.B(x) = x² + 2
- C.C(x) = -5(x - 2)²
- D.D(x) = (x - 2)²
- E.E(x) = 2x² - 8x + 10
- F.F(x) = -2x² + 4x
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: AF
Krok 1. Ustalenie współczynnika a.
Do zadania można podchodzić na różne sposoby - w ostateczności można nawet naszkicować wykresy każdej z podanych funkcji. Podejdźmy jednak do tego zadania nieco bardziej analitycznie. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział (-∞,2⟩, co prowadzi nas do wniosku, że ta funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu - tylko wtedy najwyższą przyjmowaną wartością może być konkretna liczba. Tym samym wiemy już, że współczynnik kierunkowy a < 0. Taki współczynnik znalazł się w trzech odpowiedziach: A, C oraz F i tylko do nich możemy się już ograniczyć.
Krok 2. Wybór wzorów funkcji.
Przeanalizujmy teraz każdą z interesujących nas funkcji, czyli A(x), C(x) oraz F(x). Szukamy wśród tych propozycji takiej funkcji, której największa wartość będzie równa 2. Wiedząc, że największa wartość przyjmowana jest w wierzchołku, możemy wręcz powiedzieć, że interesuje nas sytuacja, w której q=2.
A(x)=-(x-3)²+2
Jest to funkcja zapisana w postaci kanonicznej, z której możemy odczytać, że q=2. Jest to więc pierwsza poszukiwana funkcja.
C(x)=-5(x-2)²
Tutaj również mamy postać kanoniczną, którą moglibyśmy dla lepszego zobrazowania rozpisać jako C(x)=-5(x-2)²+0. Mówiąc wprost, jest to sytuacja dość podobna do tej z odpowiedzi A, ale tutaj współrzędna q=0, co sprawia, że zbiorem wartości będzie przedział (-∞,0⟩. Ta funkcja nie jest zatem tą, której szukamy.
F(x)=-2x²+4x
Odrzucając wszystkie pozostałe odpowiedzi wiemy już, że to jest funkcja, której szukamy. Ustalmy może jeszcze skąd wiemy, że największą wartością przyjmowaną przez tą funkcję jest akurat 2. W tym celu wystarczy obliczyć współrzędną q wierzchołka paraboli. Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wzór:
q=-Δ/(4a)
Obliczmy najpierw deltę.
Współczynniki: a=-2, b=4, c=0
Δ=b²-4ac=4²-4 · (-2) · 0=16-0=16
W takim razie:
q=-16/(4 · (-2)) q=-16/-8 q=2
To oznacza, że to jest właśnie nasza druga funkcja, której szukaliśmy.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.