W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste o równaniach: y = √(3)x + 6 y = -√(3)x + 6 y = -1/√(3) x - 2, przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt KLM jest A. równoramienny, B. prostokątny, ponieważ 1. oś Ox przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta. 2. dwie z tych prostych są prostopadłe. 3. oś Oy zawiera dwusieczną tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B2
Możemy oczywiście narysować te proste, aczkolwiek z samego szkicu rysunku dość trudno będzie ustalić, czy ten trójkąt ma np. ramiona równej długości. W ogóle ustalenie długości ramion jest dość problematyczne (co nie znaczy, że jest niemożliwe). Dużo łatwiej jest sprawdzić, czy ten trójkąt jest prostokątny i to właśnie od tego warto zacząć rozwiązywanie zadania. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to wśród naszych równań powinna znaleźć się para prostych prostopadłych (tylko wtedy mielibyśmy kąt prosty w naszym trójkącie). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1. Tak się składa, że wśród naszych prostych jest właśnie taka para - to pierwsza i trzecia prosta, których iloczyn współczynników kierunkowych jest równy √(3) · (-1/√(3))=-1.
To prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt faktycznie będzie prostokątny, ponieważ dwie z tych prostych są prostopadłe.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.