W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cos α=4/5, gdzie α=∢BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE|(zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta ADE i pole czworokąta BCED.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P_(ADE)=12, P_(BCED)=42
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na naszym rysunku zależności między bokami, które zostały wypisane z treści zadania. To ułatwi zrozumienie wszystkich obliczeń długości, które wykonamy sobie w kolejnych krokach.
Krok 2. Obliczenie wartości sinα.
Wartość sinusa kąta α za chwilę przyda nam się do obliczenia pola trójkąta. W treści zadania mamy podaną wartość cosinusa, zatem do obliczenia sinusa skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
sin²α+cos²=1 sin²α+(4/5)²=1 sin²a+16/25=1 sin²α=9/25 sinα=3/5 sinα=-3/5
Ujemną wartość odrzucamy, bo sinus kąta ostrego jest dodatni.
Krok 3. Obliczenie długości odcinków AD oraz AE.
Odcinek AD jest częścią odcinka AB. Z rysunku widzimy, że cała długość odcinka AB to x+2x=3x i zgodnie z treścią zadania jest ona równa 15. Musimy obliczyć długość x, zatem:
3x=15 x=5
W ten oto sposób obliczyliśmy długość odcinka |AD|=5.
Podobnie zrobimy w przypadku odcinka AE, który jest częścią odcinka AC.
3y=12 y=4
Nasz odcinek AE opisaliśmy sobie jako 2y, więc jego długość jest równa |AE|=8.
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkątów ABC oraz ADE.
Skorzystamy z następującego wzoru:
P=1/2 · a · b · sinα
Pole trójkąta ABC:
P_(ABC)=1/2 · |AB| · |AC| · sinα P_(ABC)=1/2 · 15 · 12 · 3/5 P_(ABC)=54
Pole trójkąta ADE:
P_(ADE)=1/2 · |AD| · |AE| · sinα P_(ADE)=1/2 · 5 · 8 · 3/5 P_(ADE)=12
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni czworokąta BCED.
Pole powierzchni czworokąta BCED jest różnicą między polem dużego trójkąta ABC i małego trójkąta ADE, zatem:
P_(BCED)=P_(ABC)-P_(ADE) P_(BCED)=54-12 P_(BCED)=42
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.