Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a₁+a₂+a₃+a₄=2016 oraz a₅+a₆+a₇+...+a₁₂=2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (a_n).

W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.

S_n=(2 · a₁+(n-1) · r)/2 · n

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.

Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:

S₄=2016 S₁₂=2016+2016

Ustalmy skąd wiemy, że S₁₂=2016+2016. Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa 2016 i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa 2016. Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa 2016+2016=4032.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli r.

2016=(2 · a₁+(4-1) · r)/2 · 4 4032=(2 · a₁+(12-1) · r)/2 · 12 2016=(2 · a₁+3r)/2 · 4 4032=(2 · a₁+11r)/2 · 12 2016=4 · a₁+6r / · (-3) 4032=12 · a₁+66r -6048=-12 · a₁-18r 4032=12 · a₁+66r

Dzięki sprytnemu mnożeniu przez -3 pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:

-2016=48r r=-42

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli a₁.

Podstawiając r=-42 do jednego z równań wyznaczymy wartość a₁:

2016=4 · a₁+6r 2016=4 · a₁+6 · (-42) 2016=4 · a₁-252 2268=4 · a₁ a₁=567

Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.

Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na n-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).

a_n=a₁+(n-1) · r

Zatem:

a₁+(n-1) · r > 0 567+(n-1) · (-42) > 0 567+(-42n+42) > 0 609-42n > 0 -42n > -609 n < 14 1/2

(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)

Skoro n musi być mniejsze od 14 1/2, to nasz ciąg ma 14 dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie a₁₄.

Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.

Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:

a_n=a₁+(n-1) · r a₁₄=567+(14-1) · (-42) a₁₄=567+13 · (-42) a₁₄=567-546 a₁₄=21