Matura czerwiec 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Wyrażenie $x^2 - 2xy + y^2$ to rozwinięty kwadrat różnicy:

Upraszczamy $x$, usuwając niewymierność z mianownika ułamka:

Liczymy różnicę i jej kwadrat:

Kluczem jest rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia. Zamiast osobno liczyć $x^2$, $2xy$ i $y^2$, sprowadzasz wszystko do $(x-y)^2$, a pierwiastki skracają się same. Jeśli widzisz wyrażenie typu $a^2 \pm 2ab + b^2$, od razu myśl o wzorach skróconego mnożenia. Więcej takich zadań znajdziesz na stronie potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza cenę przed obniżkami. Każda obniżka o 10% liczona jest od aktualnej ceny, więc mnoży cenę przez $0{,}9$:

Po dwóch obniżkach komputer kosztuje 1944 zł:

Sprawdzenie: $2400 \cdot 0{,}9 = 2160$, a $2160 \cdot 0{,}9 = 1944$.

Dwie obniżki po 10% to łącznie 19%, a nie 20%, bo druga liczy się od już obniżonej ceny. Kto odejmie 20%, dostanie $0{,}8x = 1944$, czyli $x = 2430$ zł, a takiej odpowiedzi nie ma wśród opcji. Przy kilku zmianach procentowych z rzędu mnożysz współczynniki, a nie dodajesz procenty.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki - to absolutna podstawa przy tego typu zadaniach:

Teraz podstawiamy do wyrażenia:

Wyciągamy $2^{40}$ z licznika:

Schemat jest zawsze ten sam: (1) sprowadź do wspólnej podstawy, (2) wyciągnij wspólny czynnik, (3) skróć. Jeśli widzisz 4, 8, 16, 32 - myśl "potęgi dwójki". Jeśli 9, 27, 81 - myśl "potęgi trójki". Jeśli 25, 125 - "potęgi piątki". Przeczytaj nasz przewodnik po potęgach i pierwiastkach, żeby utrwalić ten schemat.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Najpierw znak. Tangens jest rosnący w przedziale $(0^\circ, 90^\circ)$, a $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$. Skoro $40^\circ < 45^\circ$, to $\operatorname{tg} 40^\circ < 1$, więc liczba $1 - \operatorname{tg} 40^\circ$ jest dodatnia. To odrzuca odpowiedź A, ale nie rozstrzyga między B, C i D.

Do rozstrzygnięcia potrzebna jest wartość. Z tablic matematycznych odczytujemy $\operatorname{tg} 40^\circ \approx 0{,}8391$, więc:

Ta liczba jest większa od $0{,}1$ i mniejsza od $0{,}5$.

Samo stwierdzenie „liczba jest dodatnia” nie wystarcza do wyboru odpowiedzi, bo dodatnie są aż trzy z czterech opcji. Na maturze masz tablice z wartościami funkcji trygonometrycznych i w takim zadaniu trzeba z nich skorzystać. Więcej o trygonometrii na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Średnia z tabeli częstości to suma iloczynów „wartość razy liczba osób” podzielona przez liczbę wszystkich osób. Według tabeli 23 osoby nie przeczytały żadnej książki, 14 osób przeczytało 1, 28 osób 2, 17 osób 3, 11 osób 4, a 7 osób 5 książek (razem 100 osób).

Łączna liczba przeczytanych książek:

Średnia na jedną osobę:

Dzielisz przez liczbę osób (100), a nie przez liczbę kolumn tabeli. Zanim policzysz średnią, sprawdź, czy liczby osób w tabeli sumują się do 100.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Grupowanie

   Zauważ, że w obu składnikach pojawia się czynnik $(1-x)$:

   $2x(1-x) + (1-x) < 0$
2. Krok 2

   Wyciągnięcie wspólnego czynnika:

   $(1-x)(2x+1) < 0$
3. Krok 3

   Miejsca zerowe

   Iloczyn zeruje się, gdy:
   

   • •$1-x = 0 \implies x = 1$
   • •$2x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$

4. Krok 4

   Tabelka znaków

   Rysujemy oś liczbową z punktami $-\frac{1}{2}$ i $1$:

Iloczyn jest ujemny (< 0) dla $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)$.

To zadanie idealnie pokazuje, jak ważne jest faktoryzowanie przed rozwiązywaniem nierówności. Gdybyś rozwinął lewy nawias i próbował rozwiązać jako nierówność kwadratową "na siłę", też by się udało - ale wyciągnięcie wspólnego czynnika jest szybsze i mniej podatne na błędy rachunkowe. Na maturze schemat oceniania daje punkt za poprawne rozłożenie na czynniki i punkt za poprawne rozwiązanie. Przeczytaj przewodnik po równaniach i nierównościach, żeby przećwiczyć faktoryzację.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Oznaczmy cztery kolejne liczby naturalne jako $n, n+1, n+2, n+3$.

1. Krok 1

   Suma kwadratów:

   $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2$

   Rozwijamy każdy kwadrat:

   $= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9$$= 4n^2 + 12n + 14$
2. Krok 2

   Szukamy postaci "8k + 6":

   $4n^2 + 12n + 14 = 4n^2 + 12n + 8 + 6 = 4(n^2 + 3n + 2) + 6$

   Faktoryzujemy wyrażenie w nawiasie:

   $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$

   Zatem:

   $4n^2 + 12n + 14 = 4(n+1)(n+2) + 6$
3. Krok 3

   Dowód podzielności

   Spośród dwóch kolejnych liczb naturalnych $n+1$ i $n+2$ dokładnie jedna jest parzysta. Zatem iloczyn $(n+1)(n+2)$ jest zawsze parzysty, czyli $(n+1)(n+2) = 2m$ dla pewnego $m \in \mathbb{N}$.

   Wstawiamy:

   $4 \cdot 2m + 6 = 8m + 6$

   Suma kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych daje resztę 6 z dzielenia przez 8. $\square$

   To jeden z piękniejszych dowodów na maturze - łączy algebrę z teorią liczb. Schemat oceniania CKE: (1) poprawne rozwinięcie i uproszczenie sumy kwadratów - 1 punkt, (2) uzasadnienie podzielności przez 8 i wniosek o reszcie - 1 punkt. Najczęstszy błąd to zapomnienie o uzasadnieniu, dlaczego $(n+1)(n+2)$ jest parzyste - samo napisanie "bo to iloczyn kolejnych liczb" wystarczy, ale musisz to napisać!

   Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Oznaczenia

   Podstawą jest kwadrat $ABCD$ o boku $a$, $S$ to wierzchołek ostrosłupa, a $O$ środek kwadratu (spodek wysokości). Kąt nachylenia krawędzi bocznej $SA$ do podstawy to kąt $\alpha = \angle SAO$ w trójkącie prostokątnym $SAO$, w którym $|SO| = H = 16$, a $|AO|$ to połowa przekątnej kwadratu.

2. Krok 2

   Krawędź boczna

   Skoro $\cos\alpha = \frac{3}{5}$, to $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$. W trójkącie $SAO$:

   $\sin\alpha = \frac{|SO|}{|SA|} \implies \frac{4}{5} = \frac{16}{|SA|} \implies |SA| = 20$
3. Krok 3

   Bok podstawy

   $|AO| = |SA| \cdot \cos\alpha = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12$

   Przekątna kwadratu ma więc długość 24, a bok:

   $a\sqrt{2} = 24 \implies a = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$
4. Krok 4

   Wysokość ściany bocznej

   Ściana boczna to trójkąt równoramienny o ramionach 20 i podstawie $12\sqrt{2}$. Jej wysokość $h$ opuszczona na podstawę dzieli podstawę na połowy długości $6\sqrt{2}$:

   $h^2 = 20^2 - (6\sqrt{2})^2 = 400 - 72 = 328 \implies h = \sqrt{328} = 2\sqrt{82}$
5. Krok 5

   Pole powierzchni bocznej

   Są 4 takie ściany:

   $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 2 \cdot 12\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{82} = 48\sqrt{164} = 48 \cdot 2\sqrt{41} = 96\sqrt{41}$

Kąt nachylenia krawędzi bocznej leży w trójkącie z połową przekątnej podstawy, a nie z połową boku. Pomylenie tych odcinków daje zły bok podstawy. Wysokość ściany bocznej możesz też policzyć z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $H = 16$ i $\frac{a}{2} = 6\sqrt{2}$ (odległość $O$ od środka krawędzi podstawy): $16^2 + (6\sqrt{2})^2 = 256 + 72 = 328$, wynik jest ten sam. Przeczytaj przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć ostrosłupy prawidłowe.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze