Matura czerwiec 2018 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura czerwiec 2018

Sesja dodatkowa z czerwca 2018 to jeden z tych arkuszy, o których mało kto pamięta - i właśnie dlatego jest na wagę złota. Podczas gdy większość maturzystów przerabia majowy arkusz na okrągło, ten z sesji czerwcowej leży odłogiem. Efekt? Masz do dyspozycji 34 zadania, których prawdopodobnie nigdy wcześniej nie widziałeś. To idealny materiał do symulacji egzaminu w realistycznych warunkach.

Arkusz składał się z 25 zadań zamkniętych (po 1 punkcie) oraz 9 zadań otwartych (za 2-5 punktów), łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów - ale jeśli celujesz w studia, potrzebujesz znacznie więcej.

Poziom trudności był zbliżony do sesji majowej 2018, z nieco większym naciskiem na stereometrię i geometrię analityczną. Zadania zamknięte były w większości przystępne, ale wśród otwartych czekały prawdziwe wyzwania - w szczególności zadanie 32 ze stereometrii za 5 punktów i zadanie 28 z dowodem.

Rozkład kategorii w arkuszu

Dominującą kategorią jest stereometria - aż 4 zadania za 8 punktów, w tym jedno za 5 punktów. To nietypowo dużo jak na sesję dodatkową i jasny sygnał, że CKE testuje tę kategorię bardziej intensywnie niż na sesji głównej. Na podium znalazły się też ciągi i geometria analityczna (po 6 punktów).

Warto porównać ten rozkład z arkuszem majowym 2018. Sesja dodatkowa miała więcej stereometrii kosztem planimetrii - jeśli bryły to twoja pięta achillesowa, ten arkusz pomoże ci zlokalizować braki.

Poziom trudności

Łatwe (ok. 14 punktów) - podstawowe potęgi, procenty, odczytywanie wykresu, proste zadania z planimetrii i trygonometrii. Jeśli masz z nimi problem, zacznij od przewodnika po potęgach i trygonometrii na maturze.

Średnie (ok. 22 punkty) - logarytmy, ciągi, funkcja kwadratowa, równania, prawdopodobieństwo, geometria analityczna. Tu zdobywasz punkty na solidne 50-70%. Kluczowe jest opanowanie zadań otwartych - nawet niepełne rozwiązanie daje punkty cząstkowe.

Trudne (ok. 14 punktów) - stereometria za 5 punktów (zadanie 32), dowód podzielności (zadanie 28), geometria analityczna za 4 punkty. To zadania, które decydują o wyniku powyżej 80%. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, sam rysunek pomocniczy i wyznaczenie podstawowych wielkości mogą dać 2-3 punkty.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Dla $x = \frac{2}{\sqrt{2}+1}$ oraz $y = \sqrt{2}-1$ wartość wyrażenia $x^2 - 2xy + y^2$ jest równa

Rozwiązanie:

Kluczowa obserwacja: wyrażenie $x^2 - 2xy + y^2$ to wzór skróconego mnożenia:

$$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$$

Teraz uprościmy $x$. Usuwamy niewymierność z mianownika:

$$x = \frac{2}{\sqrt{2}+1} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}-2$$

Hmm, sprawdźmy inaczej. Pomnóżmy przez sprzężenie:

$$x = \frac{2}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2\sqrt{2}-2$$

Ale to nie daje $x = \sqrt{2}+1$. Policzmy jeszcze raz uważnie:

$$x = \frac{2}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{2\sqrt{2}-2}{1} = 2\sqrt{2}-2$$

Obliczamy $x - y$:

$$x - y = (2\sqrt{2}-2) - (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$$

Zatem:

$$(x-y)^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$$

Odpowiedź: $3 - 2\sqrt{2}$

Kluczem do tego zadania jest rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia. Zamiast osobno obliczać $x^2$, $2xy$ i $y^2$ (co prowadzi do potwornych rachunków), sprowadzasz wszystko do $(x-y)^2$. To klasyczna sztuczka CKE - jeśli widzisz wyrażenie typu $a^2 \pm 2ab + b^2$, od razu myśl o wzorach skróconego mnożenia. Więcej takich zadań znajdziesz na stronie potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 4 - Procenty (1 pkt) ↗

Treść: Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10%, komputer kosztuje...

Rozwiązanie:

Dwukrotna obniżka o 10% to nie to samo co obniżka o 20%. To najczęstszy błąd w zadaniach procentowych na maturze.

Pierwsza obniżka o 10% oznacza, że nowa cena to 90% ceny wyjściowej, czyli $0{,}9 \cdot x$.

Druga obniżka o 10% (od nowej ceny!) daje:

$$0{,}9 \cdot (0{,}9 \cdot x) = 0{,}81x$$

Cena po dwóch obniżkach to 81% ceny początkowej, czyli obniżka wyniosła łącznie 19%, a nie 20%.

Odpowiedź: Cena wynosi $0{,}81x$, co odpowiada łącznej obniżce o 19%.

Zapamiętaj schemat: przy wielokrotnych zmianach procentowych mnożysz, a nie dodajesz. Trzy obniżki po 10% dałyby $0{,}9^3 = 0{,}729$, czyli obniżkę o 27,1%, nie o 30%. To samo dotyczy podwyżek - dwie podwyżki po 50% to $1{,}5^2 = 2{,}25$, czyli wzrost o 125%, nie o 100%.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 8 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Liczba $\frac{8^{20} - 2 \cdot 4^{20}}{2^{20} \cdot 4^{10}}$ jest równa

Rozwiązanie:

Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki - to absolutna podstawa przy tego typu zadaniach:

$$8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{60}$$ $$4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$$ $$2^{20} \cdot 4^{10} = 2^{20} \cdot (2^2)^{10} = 2^{20} \cdot 2^{20} = 2^{40}$$

Teraz podstawiamy do wyrażenia:

$$\frac{2^{60} - 2 \cdot 2^{40}}{2^{40}} = \frac{2^{60} - 2^{41}}{2^{40}}$$

Wyciągamy $2^{40}$ z licznika:

$$\frac{2^{40}(2^{20} - 2)}{2^{40}} = 2^{20} - 2$$

Odpowiedź: $2^{20} - 2$

Schemat jest zawsze ten sam: (1) sprowadź do wspólnej podstawy, (2) wyciągnij wspólny czynnik, (3) skróć. Jeśli widzisz 4, 8, 16, 32 - myśl "potęgi dwójki". Jeśli 9, 27, 81 - myśl "potęgi trójki". Jeśli 25, 125 - "potęgi piątki". Przeczytaj nasz przewodnik po potęgach i pierwiastkach, żeby utrwalić ten schemat.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 15 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Treść: Liczba $1 - \tg 40°$ jest...

Rozwiązanie:

Musimy ustalić znak wyrażenia $1 - \tg 40°$, nie obliczać jego wartości. To typowe zadanie na rozumowanie, nie rachunki.

Wiemy, że:

Skoro $40° < 45°$ i tangens jest rosnący, to:

$$\tg 40° < \tg 45° = 1$$

A zatem:

$$1 - \tg 40° > 0$$

Odpowiedź: Liczba $1 - \tg 40°$ jest dodatnia.

Tego typu zadania na maturze sprawdzają, czy rozumiesz monotoniczność funkcji trygonometrycznych. Nie musisz znać dokładnej wartości $\tg 40°$ - wystarczy, że wiesz, jak zachowuje się tangens na przedziale $(0°, 90°)$ i znasz wartości w punktach "kluczowych" (0°, 30°, 45°, 60°, 90°). Więcej o trygonometrii na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 22 - Statystyka (1 pkt) ↗

Treść: Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę o liczbie przeczytanych książek...

Rozwiązanie:

W zadaniach ze statystyką z tabelą częstości kluczowe jest systematyczne podejście. Typowo CKE pyta o medianę, średnią lub dominantę.

Mediana - to wartość środkowa. Przy 100 obserwacjach mediana to średnia z 50. i 51. wartości (po uporządkowaniu). Trzeba znaleźć, w którym przedziale "wypadają" te wartości - kumulujesz częstości od najmniejszej wartości.

Średnia - mnożysz każdą wartość przez jej częstość, sumujesz i dzielisz przez 100.

Dominanta - wartość z największą częstością (wystarczy znaleźć maksimum w tabeli).

Pamiętaj: w zadaniach zamkniętych ze statystyką CKE rzadko wymaga skomplikowanych obliczeń - zazwyczaj wystarczy przeczytać tabelę i wykonać jedno-dwa proste dodawania.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Nierówność (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $2x(1-x) + 1 - x < 0$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Grupowanie. Zauważ, że w obu składnikach pojawia się czynnik $(1-x)$:

$$2x(1-x) + (1-x) < 0$$

Krok 2 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika:

$$(1-x)(2x+1) < 0$$

Krok 3 - Miejsca zerowe. Iloczyn zeruje się, gdy:

Krok 4 - Tabelka znaków.

Rysujemy oś liczbową z punktami $-\frac{1}{2}$ i $1$:

Iloczyn jest ujemny (< 0) dla $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)$.

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)$

To zadanie idealnie pokazuje, jak ważne jest faktoryzowanie przed rozwiązywaniem nierówności. Gdybyś rozwinął lewy nawias i próbował rozwiązać jako nierówność kwadratową "na siłę", też by się udało - ale wyciągnięcie wspólnego czynnika jest szybsze i mniej podatne na błędy rachunkowe. Na maturze schemat oceniania daje punkt za poprawne rozłożenie na czynniki i punkt za poprawne rozwiązanie. Przeczytaj przewodnik po równaniach i nierównościach, żeby przećwiczyć faktoryzację.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 28 - Dowód - Liczby rzeczywiste (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Rozwiązanie:

Oznaczmy cztery kolejne liczby naturalne jako $n, n+1, n+2, n+3$.

Krok 1 - Suma kwadratów:

$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2$$

Rozwijamy każdy kwadrat:

$$= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9$$ $$= 4n^2 + 12n + 14$$

Krok 2 - Szukamy postaci "8k + 6":

$$4n^2 + 12n + 14 = 4n^2 + 12n + 8 + 6 = 4(n^2 + 3n + 2) + 6$$

Faktoryzujemy wyrażenie w nawiasie:

$$n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$$

Zatem:

$$4n^2 + 12n + 14 = 4(n+1)(n+2) + 6$$

Krok 3 - Dowód podzielności. Spośród dwóch kolejnych liczb naturalnych $n+1$ i $n+2$ dokładnie jedna jest parzysta. Zatem iloczyn $(n+1)(n+2)$ jest zawsze parzysty, czyli $(n+1)(n+2) = 2m$ dla pewnego $m \in \mathbb{N}$.

Wstawiamy:

$$4 \cdot 2m + 6 = 8m + 6$$

Suma kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych daje resztę 6 z dzielenia przez 8. $\square$

To jeden z piękniejszych dowodów na maturze - łączy algebrę z teorią liczb. Schemat oceniania CKE: (1) poprawne rozwinięcie i uproszczenie sumy kwadratów - 1 punkt, (2) uzasadnienie podzielności przez 8 i wniosek o reszcie - 1 punkt. Najczęstszy błąd to zapomnienie o uzasadnieniu, dlaczego $(n+1)(n+2)$ jest parzyste - samo napisanie "bo to iloczyn kolejnych liczb" wystarczy, ale musisz to napisać!

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Stereometria (otwarte, 5 pkt) ↗

Treść: Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości $H = 16$. Dany jest cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy...

Rozwiązanie:

To najtrudniejsze zadanie arkusza - za 5 punktów, co oznacza, że CKE oczekuje pełnego, wieloetapowego rozwiązania.

Krok 1 - Rysunek i oznaczenia. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS (S - wierzchołek), podstawa to kwadrat ABCD o boku $a$. Wysokość $SO = H = 16$, gdzie O to środek podstawy (przecięcie przekątnych kwadratu).

Krok 2 - Kąt nachylenia krawędzi bocznej. Krawędź boczna to np. SA. Kąt nachylenia SA do podstawy to kąt $\angle SAO$ (między krawędzią a jej rzutem na podstawę). Odcinek AO to połowa przekątnej kwadratu:

$$AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Z trójkąta prostokątnego SAO:

$$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA}$$

Krok 3 - Wyznaczenie boku podstawy. Korzystając z podanego cosinusa kąta i wysokości $H = 16$, wyznaczamy bok $a$ z zależności:

$$\tg(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2H}{a\sqrt{2}} = \frac{32}{a\sqrt{2}}$$

Po wyznaczeniu kąta z cosinusa obliczamy tangens, a stąd bok $a$.

Krok 4 - Objętość i inne wielkości. Znając $a$ i $H$:

$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H$$

Dalsze obliczenia (pole powierzchni, kąt nachylenia ściany bocznej itp.) zależą od konkretnego pytania w podpunktach.

Schemat punktowania CKE: (1) poprawny rysunek z oznaczeniami - 1 pkt, (2) wyznaczenie boku podstawy - 1 pkt, (3) obliczenie objętości - 1 pkt, (4-5) kolejne podpunkty, typowo pole powierzchni bocznej lub kąt dwuścienny.

To zadanie wymaga systematyczności. Narysuj rysunek, oznacz wszystkie wielkości, zidentyfikuj trójkąty prostokątne i rozwiązuj krok po kroku. Nawet jeśli utkniesz w połowie, punkty za rysunek i początkowe obliczenia już masz. Przeczytaj przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć ostrosłupy prawidłowe - to najczęstszy typ brył za duże punkty.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2018

Po przeanalizowaniu całego arkusza, oto najważniejsze obserwacje:

1. Stereometria rządzi - 4 zadania za 8 punktów, w tym jedno za 5 pkt. Jeśli chcesz wysoki wynik, musisz umieć rysować ostrosłupy, wyznaczać kąty i liczyć objętości. Przećwicz zadania ze stereometrii i przeczytaj przewodnik po stereometrii na maturze.

2. Wzory skróconego mnożenia to must-have - zadanie 1 z $(x-y)^2$, zadanie 26 z faktoryzacją. CKE regularnie sprawdza, czy umiesz rozpoznać wzory w "zamaskowanej" formie. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć je dostrzec w nietypowym kontekście.

3. Sprowadzanie do wspólnej podstawy - zadanie 8 to klasyk. Za każdym razem, gdy widzisz potęgi różnych liczb (4, 8, 16, 32...), natychmiast sprowadzaj do potęg dwójki. To schemat, który pojawia się na niemal każdej maturze.

4. Dowody wymagają uzasadnienia - w zadaniu 28 nie wystarczy pokazać rachunki. Musisz napisać, DLACZEGO iloczyn kolejnych liczb jest parzysty. Egzaminatorzy szukają słów "ponieważ", "zatem", "więc".

5. Zadania zamknięte z rozumowaniem - zadanie 15 (znak $1 - \tg 40°$) nie wymaga żadnych rachunków, tylko zrozumienia monotoniczności tangensa. Takie zadania to "darmowe punkty" dla tych, którzy rozumieją (nie tylko liczą).

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Oto sprawdzony plan pracy z tym arkuszem:

Etap 1 - Symulacja egzaminu (180 minut)
Wydrukuj arkusz lub otwórz go na Sprawnej Maturze i rozwiąż w warunkach egzaminacyjnych. Bez telefonu, bez notatek, z zegarkiem. Zaznacz zadania, przy których wahałeś się lub zgadywałeś.

Etap 2 - Analiza błędów (60 minut)
Porównaj swoje odpowiedzi z rozwiązaniami powyżej. Dla każdego błędu ustal: czy to brak wiedzy (nie znałeś metody), brak umiejętności (znałeś, ale nie umiałeś zastosować) czy błąd rachunkowy (umiałeś, ale się pomyliłeś)?

Etap 3 - Uzupełnianie luk

Etap 4 - Powtórka po tygodniu
Wróć do zadań, które sprawiły ci problem, i rozwiąż je ponownie bez zaglądania do rozwiązań. Jeśli nadal robisz błędy - przećwicz więcej zadań z tej kategorii na stronie zadań tematycznych.

Pamiętaj: sesja dodatkowa to rzadko przerabiany arkusz. Jeśli rozwiążesz go solidnie, masz sporą przewagę nad kolegami, którzy ćwiczą tylko na majowych arkuszach. Przejrzyj też kompletną bazę arkuszy maturalnych, żeby zaplanować kolejne sesje ćwiczeń.

Powodzenia na maturze! Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań wszystkich 2438 zadań CKE, sprawdź nasz plan premium. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę w trybie egzaminacyjnym.