Punkty A=(-1,1) i C=(1,9) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y=1/2 x+3/2. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych znane nam punkty oraz równanie prostej AB, tak aby łatwiej dostrzec co musimy policzyć:


Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.

Z treści zadania wynika, że boku AC oraz BC są równej długości. Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych |AC|=√((x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²) oraz |BC|=√((x_C-x_B)²+(y_C-y_B)²) i podstawić tam współrzędne naszych punktów A=(-1,1), C=(1,9) oraz B=(x,y). Otrzymamy wtedy:

√((x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²)=√((x_C-x_B)²+(y_C-y_B)²) √((1-(-1))²+(9-1)²)=√((1-x)²+(9-y)²) /² (1+1)²+(9-1)²=(1-x)²+(9-y)² 2²+8²=(1-x)²+(9-y)² 4+64=(1-x)²+(9-y)² (1-x)²+(9-y)²=68

Krok 3. Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.

Póki co mamy równanie z dwiema niewiadomymi - x oraz y. Pod wartość igreka możemy teraz podstawić równanie z treści zadania, czyli y=1/2 x+3/2. Dzięki temu będziemy mieć równanie z jedną niewiadomą. I ten sposób rozwiązania jest dobry (i jest chyba najpopularniejszy), ale sprawi iż w trakcie liczenia będziemy mieć dużo ułamków na swojej drodze, przez co łatwo będzie o błąd. Możemy więc postąpić nieco sprytniej. Przekształcając równanie prostej otrzymamy:

y=1/2 x+3/2 / · 2 2y=x+3 x=2y-3

Teraz możemy podstawić to równanie pod naszego iksa i otrzymamy:

(1-(2y-3))²+(9-y)²=68 (1-2y+3)²+(9-y)²=68 (4-2y)²+(9-y)²=68 16-16y+4y²+81-18y+y²=68 5y²-34y+97=68 5y²-34y+29=0

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Powstało nam równanie kwadratowe, zatem:

Współczynniki: a=5, b=-34, c=29

Δ=b²-4ac=(-34)²-4 · 5 · 29=1156-580=576 √(Δ)=√(576)=24

y₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-34)-24)/(2 · 5)=(34-24)/10=10/10=1 y₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-34)+24)/(2 · 5)=(34+24)/10=58/10=29/5

Krok 5. Interpretacja otrzymanego wyniku i wyznaczenie współrzędnych punktu B.

Otrzymaliśmy dwa wyniki: y=1 oraz y=29/5. Spróbujmy zatem wyznaczyć dla obu tych przypadków współrzędną iksową, podstawiając igreki np. do równania x=2y-3.

Dla y=1:

x=2 · 1-3 x=2-3 x=-1

Otrzymaliśmy zatem współrzędne x=-1 oraz y=1, czyli współrzędne punktu A.

Dla y=29/5:

x=2 · 29/5-3 x=58/5-3 x=43/5

Otrzymaliśmy zatem współrzędne x=43/5 oraz y=29/5 i to są właśnie współrzędne punktu B.