Kąt α jest ostry i sin α+cos α=√(2). Oblicz wartość wyrażenia tg α+1/(tg α).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2
Krok 1. Rozpisanie wartości poszukiwanego wyrażenia.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że tgα=sinα/cosα. Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt α jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez 0, bo sinα > 0 oraz cosα > 0. W związku z tym:
tgα+1/tgα=sinα/cosα+1/(sinα/cosα)=sinα/cosα+cosα/sinα= =sinα · sinα/(cosα · sinα)+cosα · cosα/(sinα · cosα)= =sin²α/(sinα · cosα)+cos²α/(sinα · cosα)= =(sin²α+cos²α)/(sinα · cosα)=1/(sinα · cosα)
Krok 2. Rozpisanie wartości sinα · cosα.
W mianowniku pojawiła nam się wartość sinα · cosα. Musimy wyznaczyć jej wartość, tak aby dokończyć obliczenia. Tę wartość wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej i informacji zawartej w treści zadania, że sinα+cosα=√(2). Całość będzie wyglądać następująco:
sinα+cosα=√(2) /² (sinα+cosα)²=2 sin²α+2sinαcosα+cos²α=2 sin²α+cos²α+2sinαcosα=2 1+2sinαcosα=2 2sinαcosα=1 sinαcosα=1/2
Krok 3. Dokończenie obliczeń.
Skoro już wiemy, że sinαcosα=1/2, to możemy dokończyć obliczenia z kroku pierwszego:
1/(sinα · cosα)=1/(1/2)=1:1/2=1 · 2=2
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.