W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla liczb naturalnych n ≥ 1, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S₁₀=15/4. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a₁=-3/4, r=1/4
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań:
a₆=2a₅ S₁₀=15/4 Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli a_n=a₁+(n-1)r oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru S_n=(2a₁+(n-1)r)/2 · n. W związku z tym: a₁+5r=2 · (a₁+4r) (2a₁+9r)/2 · 10=15/4 Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że: a₁+5r=2 · (a₁+4r) (2a₁+9r)/2 · 10=15/4 a₁+5r=2a₁+8r (2a₁+9r) · 5=15/4 -a₁-3r=0 10a₁+45r=15/4 / · 4 -a₁-3r=0 / · 40 40a₁+180r=15 -40a₁-120r=0 / · 40 40a₁+180r=15 Dodając równania stronami otrzymamy: 60r=15 r=1/4 Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu. Znając wartość r=1/4, możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.: -a₁-3r=0 -a₁-3 1/4=0 -a₁-3/4=0 a₁=-3/4
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.