Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC|=2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF|=|DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy na nasz rysunek pewne oznaczenia. Oznaczmy odcinek DE jako x, a co za tym idzie odcinek EC jako 2x. Z treści zadania wynika, że odcinek BF jest równy odcinkowi DE, czyli tutaj także mamy długość x. Dodatkowo oznaczmy już inną niewiadomą boki AD oraz BC, które mają jednakową miarę (niech to będzie niewiadoma y), no i niech kluczowy bok BP ma miarę z.
Naszym zadaniem jest udowodnienie, że trójkąty AED oraz FPB są przystające, a skoro mają taką samą podstawę równą x to musimy tak naprawdę udowodnić, że y=z (tylko wtedy będą to trójkąty przystające).
Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów PCE oraz PBF.
Trójkąty PCE oraz PBF są na pewno podobne (mają jednakowe miary kątów). Skoro więc trójkąt PCE ma podstawę równą 2x, a trójkąt PBF ma podstawę dwukrotnie mniejszą, bo równą x, to znaczy że także odcinek PC musi być dwukrotnie dłuższy od odcinka PB (czyli skala podobieństwa jest równa 2). Zatem:
|PC|=2|PB| y+z=2z /-z y=z
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że długość y jest równa długości z. To oznacza, że trójkąty AED oraz FPB mają jednakowe długości przyprostokątnych, zatem i przeciwprostokątne muszą mieć tą samą długość. Skoro więc obydwa trójkąty mają boki jednakowych miar, to są to trójkąty przystające.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.