Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania:

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej.

Skoro cosinus kąta α jest równy 3/5, to zgodnie z naszymi oznaczeniami:

cosα=b/c 3/5=b/c b=3/5 c

Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

b²+H²=c² (3/5 c)²+16²=c² 9/25 c²+256=c² 16/25 c²=256 / · 25/16 c²=400 c=20 c=-20

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam c=20.

Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy.

Nasz odcinek b jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że b=3/5 c oraz c=20 otrzymamy:

b=3/5 · 20 b=12

Skoro b jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość:

d=2b d=2 · 12 d=24

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku a ma przekątną o długości d=a√(2). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to d=24, zatem:

a√(2)=24 a=24/√(2) a=24 · √(2)/(√(2) · √(2)) a=24√(2)/2 a=12√(2)

Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.

Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację:

W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:

h²+(6√(2))²=20² h²+36 · 2=400 h²+72=400 h²=328 h=√(328) h=-√(328)

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam h=√(328). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:

h=√(328)=√(4 · 82)=2√(82)

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej.

W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie a=12√(2) oraz wysokości h=2√(82). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem:

P_b=4 · 1/2 ah P_b=4 · 1/2 · 12√(2) · 2√(82) P_b=4 · 1/2 · 12√(2) · 2√(82) P_b=48√(164) P_b=48√(4 · 41) P_b=48 · 2√(41) P_b=96√(41)