Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x²+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,-5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: b=-14, c=-5
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować parabolę, której osią symetrii jest prosta o równaniu x=7:
Z rysunku wynika, że skoro osią symetrii jest prosta x=7, to musi ona przechodzić przez wierzchołek. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest p=7.
Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika b.
Współrzędną iksową wierzchołka obliczamy ze wzoru p=-b/(2a). Wartość współczynnika a jest znana i wynosi a=1 (bo przed x² nie ma żadnej liczby). W związku z tym jesteśmy w stanie obliczyć wartość współczynnika b:
p=-b/(2a) 7=-b/(2 · 1) 7=-b/2 14=-b b=-14
Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika c.
Współczynnik c w postaci ogólnej mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków w wartości y=4, to współczynnik c=4. Tak się składa, że punkt A jest właśnie miejscem przecięcia się paraboli z osią igreków (bo ma współrzędną iksową równą 0). W związku z tym możemy zapisać, że c=-5.
Jeżeli o tej własności nie pamiętamy, to do wzoru funkcji f(x)=x²-14x+c wystarczy podstawić współrzędne punktu A, czyli x=0 oraz y=-5. Otrzymamy wtedy:
f(x)=x²-14x+c -5=0²-14 · 0+c -5=0+0+c c=-5
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.