Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB|=|BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.1/2 r²
- B.1/4 r²
- C.π/4 r²
- D.√(3)/4 r²
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Odcinki OC oraz BC są na pewno sobie równe, a to dlatego że mają długość promienia okręgu. Skoro więc z założeń zapisanych w treści zadania wynika, że odcinek BC jest równy odcinkowi OB, to znaczy że trójkąt OBC jest równoboczny:
Krok 2. Obliczenie miary kąta AOC.
Skoro trójkąt OBC jest równoboczny, to znaczy że wszystkie jego kąty mają miarę 60°. Jeden z kątów tego trójkąta (a dokładniej kąt COB) jest kątem przyległym do kąta AOC. Skoro suma kątów przyległych jest równa 60°, to oznacza, że:
|∢AOC|=180°-60°=120°
Krok 3. Obliczenie wartości sin120°.
Do obliczenia pola powierzchni trójkąta AOC będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole trójkąta:
P=1/2 ab · sinα
W związku z tym za chwilę będziemy potrzebować wartości sin120°, a tej nie ma zapisanej w tablicach matematycznych. Musimy więc skorzystać ze wzorów redukcyjnych np.:
sin(90°+α)=cosα sin120°=sin(90°+30°)=cos30°=√(3)/2
Krok 4. Obliczenie pola trójkąta AOC.
Teraz możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem. W naszym przypadku a=r oraz b=r, zatem:
P=1/2 ab · sinα P=1/2 · r · r · sin120° P=1/2 · r · r · √(3)/2 P=√(3)/4 r²
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.