Bryły obrotowe na maturze - co powstaje z obrotu figury

Obrót figury płaskiej wokół prostej daje bryłę obrotową: prostokąt obracany wokół boku daje walec, trójkąt prostokątny obracany wokół przyprostokątnej daje stożek, a półkole obracane wokół średnicy daje kulę. Zasada jest zawsze ta sama: oś obrotu wyznacza wysokość bryły, a największa odległość figury od osi wyznacza promień podstawy. Jeśli oś przecina figurę na dwie części, powstają dwie bryły sklejone wspólną podstawą.

To jest ten typ zadania, w którym cała trudność siedzi w jednym zdaniu treści: "wokół czego obracamy". Reszta to podstawienie do wzoru z karty wzorów. W bazie 2376 zadań z arkuszy CKE i arkuszy próbnych znaleźliśmy 4 zadania sformułowane wprost jako obrót figury i wszystkie były zadaniami zamkniętymi za 1 punkt. To znaczy jedno: jeżeli umiesz odczytać, co powstaje z obrotu, masz punkt w kilkadziesiąt sekund. Jeżeli nie umiesz, tracisz go bez walki.

Co powstaje z obrotu figury: pełna tabela

Poniżej wszystkie przypadki, które realnie mogą pojawić się na maturze podstawowej. Kolumna "promień" i "wysokość" to dokładnie to, co podstawiasz do wzoru.

Zapamiętaj jedną regułę zamiast całej tabeli: bok leżący na osi obrotu staje się wysokością, bok prostopadły do osi staje się promieniem. Wszystko inne z tej tabeli da się z tej reguły wyprowadzić na kartce w trzy sekundy.

Jak w praktyce odczytać promień i wysokość

Narysuj oś obrotu jako pionową kreskę i przyłóż do niej figurę. Wysokość bryły to długość tego kawałka osi, który figura "zajmuje". Promień to odległość od osi do najdalszego punktu figury, mierzona prostopadle. Jeśli figura leży po obu stronach osi (jak trójkąt obracany wokół podstawy), obrót po jednej stronie i po drugiej daje tę samą bryłę, więc rysujesz tylko połowę.

To dlatego rysunek pomocniczy jest tu ważniejszy niż wzór. W oficjalnym rozwiązaniu CKE zadania z marca 2012 pierwszym krokiem jest dosłownie "sporządzenie rysunku poglądowego", a drugim "odczytanie odpowiedzi z rysunku". Nie ma tam żadnych obliczeń.

Wzory, które musisz mieć pod ręką

Wszystkie trzy bryły obrotowe są w karcie wzorów CKE dostępnej w aplikacji, więc nie musisz ich pamiętać na pamięć. Musisz jednak wiedzieć, gdzie ich szukać i co oznacza każda litera.

Walec o promieniu $r$ i wysokości $h$:

$V = \pi r^2 h, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h)$

Stożek o promieniu $r$, wysokości $h$ i tworzącej $l$:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad P_c = \pi r^2 + \pi r l, \qquad l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Kula o promieniu $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3, \qquad P = 4\pi R^2$

Uwaga na tworzącą stożka. Przy obrocie trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej tworząca $l$ to po prostu przeciwprostokątna tego trójkąta. Nie musisz jej liczyć z twierdzenia Pitagorasa, jeśli już masz ją podaną w treści.

Zadanie 19: promień stożka z obrotu trójkąta (Matura próbna marzec 2012) ↗

Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $13$ i $15$ wokół dłuższej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy:

A. $15$ B. $13$ C. $7{,}5$ D. $6{,}5$

Krok 1: ustal, która przyprostokątna jest osią

Dłuższa przyprostokątna to $15$. To ona leży na osi obrotu.

Krok 2: odczytaj promień

Promień to bok prostopadły do osi, czyli krótsza przyprostokątna: $r = 13$.

Odpowiedź: B

Dwie odpowiedzi w tym zadaniu to pułapki na jeden konkretny błąd. Odpowiedź A to promień, gdyby ktoś pomylił osie. Odpowiedzi C i D to połowy przyprostokątnych, czyli klasyczny odruch "promień to połowa czegoś" przeniesiony z okręgu, gdzie połowa dotyczy średnicy, a nie boku trójkąta.

Zadanie 22: objętość bryły z obrotu w wersji literowej (Matura sierpień 2015) ↗

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków $a, b, c$, gdzie $a \lt b \lt c$. Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt $360^\circ$, otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa:

A. $V = \frac{1}{3}a^2 b\pi$ B. $V = a^2 b\pi$ C. $V = \frac{1}{3}b^2 a\pi$ D. $V = a^2\pi + \pi a c$

Krok 1: rozszyfruj oznaczenia

Skoro $a \lt b \lt c$, to najdłuższy bok $c$ jest przeciwprostokątną. Przyprostokątne to $a$ i $b$, a dłuższa z nich to $b$.

Krok 2: przypisz promień i wysokość

Oś obrotu to $b$, więc $h = b$. Promień to druga przyprostokątna, czyli $r = a$.

Krok 3: podstaw do wzoru na objętość stożka

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi a^2 b$

Odpowiedź: A

Odpowiedź C jest tu specjalnie przygotowana dla osób, które zamienią $r$ z $h$. Zauważ, że w takim zadaniu nie liczysz nic, tylko poprawnie przypisujesz litery. Więcej o tym, jak radzić sobie z zadaniami zapisanymi literami zamiast liczbami, znajdziesz we wpisie o zadaniach zamkniętych i szybkich metodach ich rozwiązywania.

Zadanie 13: pole powierzchni walca z obrotu prostokąta (Matura próbna kwiecień 2015) ↗

Prostokąt o bokach długości $2$ i $4$ obracamy wokół krótszego boku. Ile wynosi pole powierzchni całkowitej tak otrzymanej bryły?

A. $16\pi$ B. $24\pi$ C. $32\pi$ D. $48\pi$

Krok 1: rozpoznaj bryłę

Prostokąt obracany wokół boku daje walec.

Krok 2: przypisz wymiary

Oś to bok długości $2$, więc $h = 2$. Bok prostopadły do osi ma długość $4$, więc $r = 4$.

Krok 3: policz pole całkowite

$P_c = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 4 \cdot (4 + 2) = 8\pi \cdot 6 = 48\pi$

Odpowiedź: D

Sprawdzenie rozbiciem na części: dwie podstawy to $2 \cdot \pi \cdot 4^2 = 32\pi$, powierzchnia boczna to $2\pi \cdot 4 \cdot 2 = 16\pi$, razem $48\pi$. Zgadza się. Ten nawyk rozbijania pola całkowitego na podstawy plus bok opisaliśmy szerzej przy obliczaniu pola i objętości walca.

Zwróć uwagę na dystans między odpowiedziami A i D. Gdybyś pomylił oś obrotu i przyjął $r = 2$, $h = 4$, dostałbyś $2\pi \cdot 2 \cdot 6 = 24\pi$, czyli odpowiedź B. Ta pomyłka jest w tym zadaniu przewidziana i punktowana zerem.

Zadanie 31: stożek i walec o równych wysokościach (Matura maj 2026) ↗

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy:

A. $\frac{1}{12}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{4}{3}$

Krok 1: wprowadź oznaczenia

Niech walec ma promień $r$ i wysokość $h$. Wtedy stożek ma promień $2r$ i tę samą wysokość $h$.

Krok 2: zapisz obie objętości

$V_s = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 4r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^2 h$ $V_w = \pi r^2 h$

Krok 3: policz stosunek

$\frac{V_s}{V_w} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{4}{3}$

Odpowiedź: D

To zadanie z arkusza matury majowej 2026 pokazuje, że bryły obrotowe wracają na maturze także w wersji porównawczej, bez żadnego obrotu w treści. Klucz jest w podniesieniu $2r$ do kwadratu. Kto podniesie tylko $r$, dostanie $\frac{2}{3}$, czyli odpowiedź C.

Trudniejszy przypadek: obrót wokół przeciwprostokątnej

Tu figura leży po obu stronach osi, więc powstają dwa stożki sklejone wspólną podstawą. Weź trójkąt prostokątny o bokach $3$, $4$, $5$ i obróć go wokół przeciwprostokątnej.

Krok 1: znajdź promień wspólnej podstawy

Promień to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną. Liczysz ją z porównania pól:

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_c \implies h_c = \frac{12}{5} = 2{,}4$

Krok 2: policz objętość obu stożków naraz

Wysokości obu stożków sumują się do długości przeciwprostokątnej, czyli do $5$. Dlatego nie musisz ich liczyć osobno:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 2{,}4^2 \cdot 5 = 9{,}6\pi$

Krok 3: policz pole powierzchni

Bryła nie ma żadnej podstawy w postaci koła, bo obie podstawy stożków są sklejone w środku. Zostają tylko dwie powierzchnie boczne, a tworzące to przyprostokątne $3$ i $4$:

$P = \pi r \cdot 3 + \pi r \cdot 4 = \pi \cdot 2{,}4 \cdot 7 = 16{,}8\pi$

Zapamiętaj ten trik z sumą wysokości. Działa zawsze, gdy dwa stożki mają wspólną podstawę, i skraca zadanie o dwa kroki.

Kwadrat obracany wokół przekątnej

Weź kwadrat o boku $6$ i obróć go wokół przekątnej. Przekątna kwadratu to $d = 6\sqrt{2}$. Przekątne kwadratu przecinają się w połowie i pod kątem prostym, więc:

• •promień wspólnej podstawy: $r = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$,
• •wysokość każdego ze stożków: $h = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$.

$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot 3\sqrt{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot 18 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\,\pi$

Najczęstszy błąd w tym zadaniu to przyjęcie $r = 6$, czyli mylenie boku z połową przekątnej. Jeśli chcesz przećwiczyć samo liczenie przekątnych i wysokości w figurach, przyda się wpis o zależnościach boków w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90.

Trójkąt równoramienny: dwa obroty, dwie różne bryły

Ta sama figura, dwie różne osie, dwa zupełnie różne wyniki. Weź trójkąt równoramienny o ramionach $10$ i podstawie $12$. Najpierw policz wysokość opuszczoną na podstawę, bo przyda się w obu wariantach. Wysokość dzieli podstawę na połowy, więc z twierdzenia Pitagorasa:

$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$

Wariant 1: obrót wokół wysokości

Oś przechodzi przez wierzchołek prostopadle do podstawy, więc powstaje jeden stożek. Promieniem jest połowa podstawy, wysokością odcinek $h$, a tworzącą ramię trójkąta:

$r = 6, \quad h = 8, \quad l = 10$ $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi, \qquad P_c = \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 6 \cdot 10 = 36\pi + 60\pi = 96\pi$

Wariant 2: obrót wokół podstawy

Teraz oś leży wzdłuż podstawy, a wierzchołek zakreśla okrąg o promieniu równym wysokości trójkąta. Powstają dwa stożki sklejone wspólną podstawą, o promieniu $r = 8$ i sumie wysokości równej podstawie, czyli $12$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 256\pi$

Pole powierzchni to dwie powierzchnie boczne, których tworzącymi są ramiona trójkąta:

$P = \pi \cdot 8 \cdot 10 + \pi \cdot 8 \cdot 10 = 160\pi$

Objętość różni się prawie trzykrotnie, mimo że figura jest ta sama. Dlatego pierwsze zdanie treści, to o osi obrotu, jest w tym typie zadania ważniejsze niż wszystkie liczby razem wzięte.

Typowe pułapki

Zamiana promienia z wysokością. Najczęstszy błąd w całym temacie. Zawsze podpisuj na rysunku, który bok leży na osi.

"Dłuższa przyprostokątna" nie znaczy "większy promień". Obrót wokół dłuższej przyprostokątnej daje mniejszy promień, bo promieniem zostaje ta krótsza. Treść zadania celowo brzmi mylnie.

Zapominanie o podstawie w polu całkowitym. Pole powierzchni bocznej stożka to $\pi r l$, ale pole całkowite to $\pi r^2 + \pi r l$. Sprawdź w treści, o które pole pytają.

Tworząca zamiast wysokości we wzorze na objętość. We wzorze $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ występuje wysokość, a nie tworząca. Jeśli w treści masz $l$, najpierw policz $h = \sqrt{l^2 - r^2}$.

Podwójne liczenie sklejonej podstawy. Gdy dwa stożki mają wspólną podstawę, ta podstawa jest w środku bryły i nie należy do jej powierzchni. Nie dodawaj $\pi r^2$.

Jednostki i $\pi$. Odpowiedzi w zadaniach zamkniętych są zwykle podane z $\pi$, więc nie zaokrąglaj po drodze. Zostaw $\pi$ jako symbol do samego końca.

Najczęstsze pytania

Co powstaje z obrotu prostokąta wokół boku?
Powstaje walec. Bok leżący na osi obrotu staje się wysokością walca, a bok do niego prostopadły staje się promieniem podstawy. Jeśli obracasz kwadrat o boku a wokół boku, dostajesz walec o promieniu a i wysokości a.

Co powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego?
Zależy od osi. Obrót wokół przyprostokątnej daje stożek, w którym ta przyprostokątna jest wysokością, druga przyprostokątna promieniem, a przeciwprostokątna tworzącą. Obrót wokół przeciwprostokątnej daje dwa stożki sklejone wspólną podstawą o promieniu równym wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

Czy bryły obrotowe są na maturze podstawowej?
Tak. Walec, stożek i kula są w wymaganiach egzaminacyjnych i mają swoje wzory w karcie wzorów CKE. Zadania z obrotem figury pojawiały się w arkuszach jako zadania zamknięte za 1 punkt, a same bryły obrotowe wracają też w innych ujęciach, na przykład w zadaniu 31 z matury w maju 2026 o stosunku objętości stożka do walca.

Jak obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu?
Najpierw rozpoznaj bryłę, potem odczytaj promień i wysokość z rysunku, a na końcu podstaw do wzoru z karty wzorów. Dla walca V = pi r kwadrat razy h, dla stożka jedna trzecia tego samego iloczynu, dla kuli cztery trzecie pi r do sześcianu. Jeśli powstały dwie bryły, policz objętości osobno i dodaj.

Co powstaje z obrotu półkola wokół średnicy?
Kula o promieniu równym promieniowi półkola. Obrót pełnego koła wokół średnicy daje dokładnie tę samą kulę, bo dwie połowy koła zakreślają tę samą bryłę.

Czy trzeba umieć rysować przekrój osiowy?
Nie musisz go rysować ładnie, ale musisz go rozumieć. Przekrój osiowy walca to prostokąt, stożka trójkąt równoramienny, a kuli koło wielkie. To dokładnie ta figura, którą obracałeś, sklejona ze swoim odbiciem. Temat rozwijamy w osobnym wpisie o przekrojach brył płaszczyzną.

Ile czasu powinno zająć takie zadanie?
Zadanie zamknięte z obrotem figury powinno zająć od 30 sekund do 2 minut, bo cała praca to rysunek i jedno podstawienie. Jeśli zajmuje ci więcej, problemem jest zwykle rysunek, a nie rachunki.

Checklista: co musisz umieć

• •Rozpoznać bryłę powstałą z obrotu prostokąta, kwadratu, trójkąta prostokątnego, trójkąta równoramiennego i półkola.
• •Poprawnie przypisać promień i wysokość: oś to wysokość, prostopadła odległość to promień.
• •Wiedzieć, że obrót wokół osi przecinającej figurę daje dwie bryły sklejone wspólną podstawą.
• •Policzyć wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną z porównania pól trójkąta.
• •Odróżnić tworzącą od wysokości stożka i przechodzić między nimi przez $l^2 = r^2 + h^2$.
• •Policzyć pole całkowite i objętość walca, stożka i kuli, korzystając z karty wzorów.
• •Nie dodawać pola sklejonej podstawy w bryle złożonej z dwóch stożków.

Najszybszy sposób na utrwalenie tego typu: przerób zadania ze Stereometrii w bazie zadań CKE, gdzie 204 zadania są posortowane według tematu, a każde ma pełne rozwiązanie krok po kroku. Jeśli chcesz najpierw dobrać wzory, zajrzyj do wpisów o objętości i polu stożka oraz o kuli wpisanej i opisanej. A jeśli powtarzasz teraz cały materiał przed poprawką, drugim tematem, który zwraca punkty najszybciej, jest prawdopodobieństwo z kostkami: zobacz, jak tabela 36 wyników rozwiązuje niemal każde zadanie z dwoma rzutami kostką.

Chcesz sprawdzić, czy naprawdę to umiesz? Odpal losowe zadanie z bazy CKE i zobacz, ile zajmie ci przypisanie promienia i wysokości bez patrzenia na rozwiązanie.