Przekrój bryły płaszczyzną na maturze - stożek, walec, sześcian

Dlaczego przekrój bryły to zmora maturzystów

Stereometria ma opinię najtrudniejszego działu na maturze podstawowej, a przekroje bryły płaszczyzną to w niej temat, który budzi najwięcej frustracji. Powód jest prosty: musisz sobie wyobrazić, jak płaska powierzchnia tnie bryłę w przestrzeni, a większość uczniów nie ma na tyle wyćwiczonej wyobraźni przestrzennej, żeby zrobić to bez rysunku pomocniczego. Przekroje pojawiają się na maturze rzadziej niż liczenie objętości czy pól powierzchni, ale kiedy już się pojawią, zwykle są warte więcej punktów, bo łączą kilka umiejętności naraz: znajomość figur płaskich, twierdzenie Pitagorasa i wyobraźnię przestrzenną w jednym zadaniu.

Dobra wiadomość jest taka, że na maturze podstawowej powtarzają się dokładnie te same schematy: przekrój osiowy walca, przekrój osiowy stożka oraz przekrój wielościanu (najczęściej sześcianu albo graniastosłupa czworokątnego) przez przekątną i wierzchołek. Jak tylko rozpoznasz, z którym z tych trzech przypadków masz do czynienia, reszta zadania to najczęściej podstawianie do znanych wzorów i twierdzenie Pitagorasa.

Co ważne, żaden z tych trzech schematów nie wymaga wiedzy wykraczającej poza program matury podstawowej. Nie potrzebujesz rachunku wektorowego ani geometrii analitycznej w przestrzeni, żeby rozwiązać typowe zadanie zamknięte z przekrojem. Wystarczy twierdzenie Pitagorasa, podstawowe wzory na pola figur płaskich i umiejętność narysowania pomocniczego rysunku. Dopiero trudniejsze zadania otwarte, opisane w dalszej części poradnika, czasem korzystają z układu współrzędnych, ale to już wyjątek, a nie reguła.

W tym poradniku rozwiążemy krok po kroku cztery prawdziwe zadania maturalne z przekrojami, tak żebyś na egzaminie rozpoznawał wzorzec od razu, zamiast zgadywać, co robić.

Zanim przejdziemy do wzorów, jedna praktyczna wskazówka egzaminacyjna: przy każdym zadaniu z przekrojem warto od razu narysować sam przekrój jako osobną, płaską figurę, wyjętą z bryły. Nie próbuj liczyć "na oko" z rysunku samej bryły w 3D, bo tam łatwo się pomylić co do tego, który odcinek jest którym bokiem. Jeśli narysujesz przekrój osobno, jako zwykły trójkąt albo prostokąt na płaskiej kartce, zamieniasz trudne zadanie przestrzenne w znajome zadanie z planimetrii, które rozwiążesz szkolnymi metodami.

Co to jest przekrój bryły płaszczyzną

Przekrój bryły płaszczyzną to płaska figura, która powstaje, gdy przetniesz bryłę wybraną płaszczyzną. Wyobraź sobie, że kroisz ziemniaka nożem - ślad po nożu na powierzchni cięcia to właśnie ten kształt, którego szukasz w zadaniu.

To nie to samo co rzut bryły, czyli cień, jaki bryła rzuca na płaszczyznę. Mylenie tych dwóch pojęć to jeden z częstszych błędów na maturze. Przekrój zawsze zależy od tego, jak dokładnie poprowadzisz płaszczyznę tnącą, a na maturze ta płaszczyzna jest zawsze opisana w treści zadania albo pokazana na rysunku pomocniczym.

Różnicę łatwo zobaczyć na konkretnym przykładzie. Weźmy sześcian o krawędzi $4$. Jego rzut na płaszczyznę poziomą, czyli cień przy świetle padającym prostopadle z góry, to zawsze kwadrat o boku $4$, niezależnie od tego, jak bryła jest ustawiona względem tej płaszczyzny. Ale przekrój tego samego sześcianu może wyjść zupełnie inaczej w zależności od tego, jaką płaszczyznę wybierzemy: przekrój poziomy przez środek wysokości to też kwadrat o boku $4$, lecz przekrój ukośny, na przykład przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek górnej podstawy, tak jak w Zadaniu 4 w dalszej części tego poradnika, to już zupełnie inna figura, mimo że tniemy dokładnie tę samą bryłę. Rzut "spłaszcza" bryłę zawsze w ten sam sposób, a przekrój zależy od wyboru płaszczyzny.

Zobacz też ogólny przewodnik po stereometrii na maturze z pełnym zestawem wzorów na objętości i pola powierzchni brył, oraz stronę tematu Stereometria z zadaniami do samodzielnego ćwiczenia.

Przekrój osiowy walca - zawsze prostokąt

Kiedy przetniesz walec płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii, czyli przez środki obu podstaw, zawsze dostaniesz prostokąt. To najprostszy przypadek przekroju na maturze, więc warto zacząć właśnie od niego.

Boki tego prostokąta to:

• •średnica podstawy walca, czyli $2r$
• •wysokość walca, czyli $H$

Szczególny przypadek, który lubi pojawiać się na maturze: gdy ten prostokąt jest kwadratem. Wtedy po prostu $2r = H$, i ta jedna zależność wystarcza, żeby rozwiązać całe zadanie.

Nie zawsze jednak przekrój jest kwadratem. Czasem zadanie podaje inną zależność między bokami prostokąta, na przykład przekątną i kąt, jaki tworzy ona z podstawą, albo samo pole przekroju. W takiej sytuacji postępujesz dokładnie tak samo: zapisujesz bok prostokąta jako $2r$, drugi jako $H$, a potem korzystasz z tego, co akurat podaje treść zadania, żeby połączyć obie niewiadome jednym równaniem. Mechanizm jest identyczny, zmieniają się tylko dane wejściowe.

Zadanie 1: przekrój osiowy walca jest kwadratem

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej $10\sqrt{2}$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

Krok 1. Długość boku kwadratu.

Kwadrat o boku $a$ ma przekątną $a\sqrt{2}$. Skoro przekątna wynosi $10\sqrt{2}$, to:

$a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
$a = 10$

Krok 2. Promień i wysokość walca.

Bok kwadratu to jednocześnie średnica podstawy ($2r$) i wysokość walca ($H$):

$2r = 10 \Rightarrow r = 5$
$H = 10$

Krok 3. Pole powierzchni bocznej.

$P_b = 2\pi r H = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi$

Pełne rozwiązanie tego zadania z arkusza CKE znajdziesz na stronie matura sierpień 2018, zadanie 23, a cały arkusz z odpowiedziami na stronie matura sierpień 2018.

Przekrój osiowy stożka - zawsze trójkąt równoramienny

Przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt równoramienny, bo stożek jest bryłą obrotową, czyli symetryczną względem swojej osi. Ramiona tego trójkąta to tworzące stożka, a podstawa to średnica podstawy stożka:

• •podstawa trójkąta = $2r$
• •ramiona trójkąta = tworząca $l$

Wysokość tego trójkąta pokrywa się z wysokością stożka $H$, bo oś stożka jest jednocześnie wysokością trójkąta w przekroju. Te trzy wielkości łączy twierdzenie Pitagorasa: $l^2 = r^2 + H^2$.

Zadanie 2: przekrój równoboczny stożka

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku $a$. Zapisz wzór na objętość tego stożka w zależności od $a$.

Krok 1. Promień podstawy.

Skoro trójkąt jest równoboczny, podstawa trójkąta, czyli $2r$, jest równa bokowi $a$:

$2r = a \Rightarrow r = \frac{a}{2}$

Krok 2. Wysokość stożka.

Wysokość stożka to wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$, czyli ze standardowego wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Krok 3. Pole podstawy.

$P_p = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$

Krok 4. Objętość stożka.

$V = \frac{1}{3} P_p H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi a^2}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}\,\pi a^3}{24}$

Zadanie w oryginale, z liczbowymi odpowiedziami do wyboru, znajdziesz pod adresem matura sierpień 2012, zadanie 23. Więcej o samych wzorach na objętość i pole stożka przeczytasz w poradniku jak obliczyć objętość stożka i pole powierzchni.

Wariant tego samego zadania: gdyby zamiast objętości zapytano o pole powierzchni całkowitej, dane z kroków 1 i 2 wystarczą, żeby odpowiedzieć od razu, bo ramię trójkąta równobocznego to jednocześnie tworząca stożka, czyli $l=a$:

$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \pi\cdot\frac{a}{2}\cdot a = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{4}$

Warto to zauważyć, bo na maturze dokładnie ten sam zestaw danych bywa wykorzystywany w dwóch różnych pytaniach: raz o objętość, raz o pole powierzchni.

Zadanie 3: przekrój prostokątny stożka - pułapka na kąt prosty

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $12$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

To zadanie jest trudniejsze, bo wymaga jednej dodatkowej obserwacji. Trójkąt w przekroju osiowym stożka jest zawsze równoramienny, bo oba ramiona są równe tworzącej $l$. Żeby taki trójkąt mógł być jednocześnie prostokątny, kąt prosty musi leżeć przy wierzchołku, a nie przy podstawie.

Dlaczego akurat tak? W trójkącie równoramiennym oba kąty przy podstawie są sobie równe. Gdyby jeden z nich był prosty, drugi też musiałby być prosty, a wtedy suma kątów w trójkącie przekroczyłaby $180°$, co jest niemożliwe. Zostaje więc tylko jedna opcja: kąt prosty jest między ramionami, czyli przy wierzchołku stożka.

To oznacza, że przyprostokątnymi są obie tworzące $l$, a przeciwprostokątną jest podstawa $2r$:

Krok 1. Promień podstawy.

$2r = 12 \Rightarrow r = 6$

Krok 2. Tworząca stożka z twierdzenia Pitagorasa.

$l^2 + l^2 = 12^2$
$2l^2 = 144$
$l^2 = 72$
$l = 6\sqrt{2}$

Krok 3. Wysokość stożka.

$H^2 = l^2 - r^2 = 72 - 36 = 36$
$H = 6$

Krok 4. Pole powierzchni całkowitej.

$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi \cdot 36 + \pi \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\pi + 36\sqrt{2}\,\pi = 36\pi(1+\sqrt{2})$

Oryginalne zadanie zamknięte, z odpowiedziami do wyboru, znajdziesz na stronie matura próbna Operon, listopad 2017, zadanie 19.

Przekrój sześcianu przez przekątną podstawy i wierzchołek

Przy wielościanach, czyli sześcianie, prostopadłościanie czy graniastosłupie, nie ma gotowych wzorów na przekrój. Musisz sam wyznaczyć, jaki wielokąt powstaje, policzyć długości jego boków z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni, a na końcu obliczyć pole tego wielokąta znanym wzorem.

Klucz do sukcesu: w sześcianie o krawędzi $a$ każda ściana ma przekątną o długości $a\sqrt{2}$, a cały sześcian ma przekątną przestrzenną o długości $a\sqrt{3}$. Te dwie liczby wystarczają do rozwiązania większości zadań tego typu, więc warto je znać na pamięć, tak samo jak wzory z poradnika jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu.

Obie te wartości wynikają wprost z twierdzenia Pitagorasa, więc nie musisz ich pamiętać na sztywno, wystarczy umieć je odtworzyć w kilka sekund. Przekątna ściany to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego zbudowanego z dwóch krawędzi tej ściany:

$d_{\text{ściany}} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$

Przekątna przestrzenna to z kolei przeciwprostokątna trójkąta zbudowanego z przekątnej ściany i krawędzi prostopadłej do tej ściany:

$d_{\text{przestrzenna}} = \sqrt{\left(a\sqrt{2}\right)^2+a^2} = \sqrt{2a^2+a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

To dwa zastosowania tego samego twierdzenia, jedno po drugim, więc zamiast uczyć się dwóch osobnych wzorów, wystarczy zapamiętać jeden schemat rozumowania.

Zadanie 4: sześcian, przekrój trójkątem równobocznym

Sześcian $ABCDEFGH$ ma krawędź długości $a=6$, przy czym $ABCD$ to dolna podstawa, $EFGH$ górna, a wierzchołek $E$ leży dokładnie nad $A$, $F$ nad $B$, $G$ nad $C$, $H$ nad $D$. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną $AC$ dolnej podstawy i wierzchołek $F$ górnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Krok 1. Rozpoznanie figury przekroju.

Skoro płaszczyzna zawiera trzy punkty $A$, $C$ i $F$, przekrój to trójkąt $ACF$.

Krok 2. Długości boków trójkąta.

• •$AC$ to przekątna kwadratu $ABCD$, czyli przekątna dolnej podstawy: $AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
• •$AF$ to przekątna ściany bocznej $ABFE$, bo $A$ i $F$ leżą na przeciwległych rogach tej ściany: $AF = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
• •$CF$ to przekątna ściany bocznej $BCGF$, analogicznie, bo $C$ i $F$ leżą na przeciwległych rogach tej ściany: $CF = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Krok 3. Rozpoznanie rodzaju trójkąta.

Wszystkie trzy boki są równe $6\sqrt{2}$, więc trójkąt $ACF$ jest równoboczny o boku $a\sqrt{2}$.

Krok 4. Pole trójkąta równobocznego.

Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku $s$ to $P = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$. Podstawiając $s = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$:

$P = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(6\sqrt{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 72 = 18\sqrt{3}$

Oryginalne zadanie znajdziesz na stronie matura próbna kwiecień 2015, zadanie 24. Zapamiętaj tę sztuczkę: gdy przekrój sześcianu przechodzi przez przekątną jednej ściany i wierzchołek leżący "po przekątnej" na sąsiedniej ścianie, prawie zawsze dostaniesz trójkąt równoboczny zbudowany z trzech przekątnych ścian sześcianu. To znacznie szybsza droga niż liczenie wszystkiego wzorem Herona.

Weryfikacja wyniku. Warto sprawdzić, czy wynik ma sens. Przekątna przestrzenna tego sześcianu wynosi $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx 10{,}39$, a bok naszego trójkąta równobocznego to $6\sqrt{2}\approx 8{,}49$, czyli krótszy niż przekątna przestrzenna. To zgadza się z geometrią bryły: przekątna ściany zawsze jest krótsza od przekątnej przestrzennej, więc otrzymany trójkąt "mieści się" w sześcianie tak, jak powinien. Jeśliby w obliczeniach wyszła długość boku większa niż przekątna przestrzenna, byłby to sygnał, że gdzieś wkradł się błąd rachunkowy.

Przekroje graniastosłupów - kiedy robi się naprawdę trudno

W zadaniach otwartych, wartych 3 albo 4 punkty, płaszczyzna przekroju czasem nie przechodzi przez wierzchołki bryły, tylko przez środki krawędzi. Wtedy przekrój bywa czworokątem, a nie trójkątem, a samo znalezienie wszystkich wierzchołków przekroju wymaga dodatkowej pracy, najczęściej przez wprowadzenie układu współrzędnych w przestrzeni i obliczenie punktów przecięcia płaszczyzny z krawędziami bryły.

To już wykracza poza to, co pojawia się typowo w zadaniach zamkniętych za jeden punkt, ale jeśli chcesz się zmierzyć z trudniejszym przykładem tego typu, sprawdź to zadanie z arkusza CKE: graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięty płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy oraz jeden wierzchołek górnej podstawy. To dobry test, czy naprawdę rozumiesz metodę, a nie tylko pamiętasz gotowe wzory.

Metoda, która działa w każdym takim przypadku, wygląda tak: umieszczasz bryłę w układzie współrzędnych, tak żeby jeden wierzchołek podstawy wypadł w punkcie $(0,0,0)$, a krawędzie boczne biegły równolegle do osi $z$. Potem zapisujesz współrzędne wszystkich punktów, przez które ma przechodzić płaszczyzna przekroju, łącznie ze środkami krawędzi. Na końcu liczysz długości boków otrzymanego wielokąta jako odległości między punktami w przestrzeni, dokładnie tak samo jak w Zadaniu 4, tylko z większą liczbą punktów do policzenia. To więcej rachunków, ale sama metoda się nie zmienia.

Jak szybko rozpoznać, jaki kształt przekroju cię czeka

Zanim zaczniesz liczyć, zadaj sobie jedno pytanie: jaką bryłę tniesz i przez jakie punkty prowadzi się płaszczyzna? To od razu podpowiada, jakiego kształtu się spodziewać:

• •walec przecięty przez oś symetrii: zawsze prostokąt, którego boki to średnica podstawy $2r$ i wysokość $H$. Nie musisz nic udowadniać, to wynika wprost z symetrii bryły obrotowej.
• •stożek przecięty przez oś symetrii: zawsze trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i ramionach równych tworzącej $l$. Jeśli w treści zadania pojawia się dodatkowy warunek, na przykład że trójkąt jest równoboczny albo prostokątny, to zawsze dotyczy tego samego trójkąta równoramiennego, tylko z dodatkowym ograniczeniem na jego kąty.
• •wielościan przecięty przez trzy wierzchołki: przekrojem jest trójkąt, którego boki liczysz z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni, najczęściej korzystając z przekątnej ściany $a\sqrt{2}$ i przekątnej przestrzennej $a\sqrt{3}$.
• •wielościan przecięty przez środki krawędzi lub więcej niż trzy punkty: przekrojem jest czworokąt albo wielokąt o większej liczbie boków, do którego policzenia zwykle potrzebujesz układu współrzędnych w przestrzeni.

Ten prosty podział wystarcza, żeby na maturze od razu wiedzieć, w którą stronę iść z rozwiązaniem, zamiast tracić cenny czas na zgadywanie, jaki kształt w ogóle powstał.

Najczęstsze błędy przy przekrojach brył

Mylenie przekroju z rzutem. Rzut to cień bryły na płaszczyznę, a przekrój to realny ślad po przecięciu bryły płaszczyzną. To dwa różne pojęcia i dwie różne figury, a maturalne zadania rozróżniają je bardzo precyzyjnie.

Zakładanie, że przekrój przez przekątne zawsze daje ten sam kształt. Zależy to od bryły i od tego, przez które dokładnie punkty prowadzisz płaszczyznę. W sześcianie może wyjść zarówno trójkąt, jak i sześciokąt, w zależności od konfiguracji punktów, przez które przechodzi płaszczyzna.

Mylenie tworzącej stożka $l$ z jego wysokością $H$. To dwa różne odcinki: $l$ to bok trójkąta w przekroju, czyli ramię, a $H$ to jego wysokość opuszczona z wierzchołka na podstawę. Łączy je wzór $l^2 = r^2 + H^2$, o którym łatwo zapomnieć pod presją czasu.

Zapominanie, że trójkąt w przekroju stożka jest zawsze równoramienny. To założenie trzeba wykorzystać przy każdym zadaniu z kątem w przekroju stożka, tak jak w Zadaniu 3, gdzie decyduje ono o tym, gdzie w ogóle może leżeć kąt prosty.

Pomijanie rysunku pomocniczego przy wielościanach. Przy sześcianie czy graniastosłupie łatwo się pomylić w oznaczeniach wierzchołków, jeśli liczysz "z pamięci". Zawsze oznacz sobie wszystkie osiem wierzchołków bryły na rysunku, zanim zaczniesz szukać, które z nich wyznaczają płaszczyznę przekroju z treści zadania.

Jak sprawdzić, czy wynik ma sens

Po policzeniu zadania z przekrojem warto poświęcić dziesięć sekund na szybkie sprawdzenie, zanim przejdziesz dalej:

• •Czy długości boków przekroju są krótsze niż największa przekątna bryły? W sześcianie żaden bok przekroju nie może być dłuższy niż przekątna przestrzenna $a\sqrt{3}$, bo to najdłuższy możliwy odcinek w tej bryle.
• •Czy promień i wysokość wyszły dodatnie? Jeśli w trakcie obliczeń dla stożka albo walca wyjdzie ujemna wartość pod pierwiastkiem albo ujemny promień, to znak, że któreś dane zostały źle podstawione do wzoru.
• •Czy kąt, który obliczyłeś, mieści się w rozsądnym zakresie? Kąt między krawędzią a podstawą albo kąt rozwarcia stożka zawsze mieści się między $0°$ a $180°$, a w praktycznych zadaniach maturalnych zwykle jest to jedna z wartości z tablic ($30°$, $45°$, $60°$) albo da się ją do takiej sprowadzić.

To nawyk, który zajmuje chwilę, a regularnie ratuje przed oddaniem błędnej odpowiedzi z powodu jednego przestawionego znaku w obliczeniach.

Checklist - co musisz umieć

Więcej zadań ze stereometrii z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz w bazie zadania CKE ze stereometrii. Jeśli wolisz poćwiczyć losowe zadania z całego działu, wejdź na stronę tematu Stereometria i zacznij rozwiązywać zadania samodzielnie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie