Kula wpisana i opisana - jak obliczyć promień (sześcian, ostrosłup, stożek)

Promień kuli opisanej na sześcianie o krawędzi $a$ wynosi $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, czyli tyle, ile połowa przekątnej sześcianu. Promień kuli wpisanej w ten sam sześcian to $r = \frac{a}{2}$, czyli połowa krawędzi. W każdej innej bryle schemat jest ten sam: robisz przekrój przez oś symetrii, sprowadzasz zadanie przestrzenne do okręgu wpisanego albo opisanego na figurze płaskiej i liczysz promień z twierdzenia Pitagorasa lub ze wzoru na promień okręgu wpisanego $\rho = \frac{P}{p}$, gdzie $P$ to pole tej figury, a $p$ połowa jej obwodu.

Kula wpisana i kula opisana to temat, na którym sypią się nawet uczniowie, którzy dobrze liczą objętości. Powód jest prosty: tu nie wystarczy podstawić do wzoru z karty wzorów, bo takiego wzoru tam nie ma. Musisz sam ustalić, gdzie leży środek kuli, a to wymaga jednego dobrego rysunku przekroju. W naszej bazie zadań ze stereometrii ten dział to 204 zadania CKE, a konfiguracje z kulą pojawiają się głównie w zadaniach otwartych, czyli tam, gdzie idą pełne punkty za metodę.

Co znaczy, że kula jest wpisana, a co, że opisana

Kula wpisana w bryłę jest styczna do wszystkich jej ścian i leży w całości wewnątrz. Kula opisana na bryle przechodzi przez wszystkie jej wierzchołki. Stąd biorą się dwie zasady, które rozwiązują większość zadań: środek kuli opisanej jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków bryły, a środek kuli wpisanej jest jednakowo oddalony od wszystkich jej ścian.

Z tego wynika trzecia rzecz, najważniejsza praktycznie: w bryle obrotowej i w ostrosłupie prawidłowym środek kuli zawsze leży na osi symetrii bryły. Nie musisz go szukać w przestrzeni, wystarczy, że wyznaczysz jego wysokość na tej osi. Jedna niewiadoma zamiast trzech.

Uwaga na nazewnictwo: w zadaniach CKE spotkasz też słowo "sfera". Sfera to sama powierzchnia (skorupka), kula to sfera razem z wnętrzem. Do liczenia promienia nie ma to znaczenia, ale gdy zadanie pyta o pole sfery, chodzi o $4\pi R^2$, a gdy o objętość kuli, o $\frac{4}{3}\pi R^3$. Szczegółowo rozbieramy te wzory we wpisie o tym, jak liczyć pole powierzchni i objętość kuli.

Kula opisana na sześcianie i prostopadłościanie

Promień kuli opisanej na sześcianie o krawędzi $a$ to połowa przekątnej sześcianu, czyli $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Dla prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$ jest analogicznie: $R = \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$. Środek leży w punkcie przecięcia przekątnych bryły, czyli dokładnie w jej środku.

Dlaczego tak jest? Wszystkie wierzchołki mają leżeć na sferze, więc środek musi być jednakowo oddalony od każdego z nich. W prostopadłościanie taki punkt jest tylko jeden: środek symetrii bryły. Odcinek od tego punktu do wierzchołka to połowa przekątnej, a przekątną liczysz z podwójnego Pitagorasa:

$d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}, \qquad R = \frac{d}{2}$

Dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc $d = a\sqrt{3}$. Jeśli mylą ci się $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$, zapamiętaj: przekątna ściany to $a\sqrt{2}$, przekątna całej bryły to $a\sqrt{3}$. Rozpisujemy to dokładniej w poradniku o tym, jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu.

Kula wpisana w sześcian

Promień kuli wpisanej w sześcian o krawędzi $a$ to $r = \frac{a}{2}$. Kula dotyka wtedy każdej z sześciu ścian w jej środku, a jej średnica jest dokładnie równa krawędzi. To najprostszy przypadek w całym temacie i dlatego pojawia się najczęściej na poziomie podstawowym.

Ważne ograniczenie: w prostopadłościan, który nie jest sześcianem, kuli wpisać się nie da. Kula musiałaby jednocześnie dotykać obu par przeciwległych ścian, więc jej średnica musiałaby być równa $a$, $b$ i $c$ naraz. To możliwe tylko wtedy, gdy $a = b = c$.

Z kuli wpisanej w sześcian bierze się klasyczne pytanie o stosunek objętości:

$\frac{V_{kuli}}{V_{szescianu}} = \frac{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3}{a^3} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236$

Czyli kula wpisana wypełnia około 52,4 procent sześcianu, niezależnie od jego wielkości. Taki wynik bez zmiennej to dobry sygnał, że liczyłeś dobrze.

Kula opisana na ostrosłupie prawidłowym

Środek kuli opisanej na ostrosłupie prawidłowym leży na jego wysokości, a jego położenie liczysz z jednego równania. Oznacz przez $H$ wysokość ostrosłupa, a przez $d$ promień okręgu opisanego na podstawie. Wtedy promień kuli opisanej wynosi:

$R = \frac{H^2 + d^2}{2H}$

Wyprowadzenie zajmuje trzy linijki i warto je znać, bo na maturze łatwiej odtworzyć rozumowanie niż zapamiętać wzór. Niech środek kuli leży na wysokości $x$ nad środkiem podstawy. Odległość do wierzchołka górnego to $H - x$, a odległość do wierzchołka podstawy to $\sqrt{d^2 + x^2}$. Oba mają być równe $R$, więc:

$(H-x)^2 = d^2 + x^2 \implies H^2 - 2Hx = d^2 \implies x = \frac{H^2-d^2}{2H}$

Po podstawieniu $R = H - x$ dostajesz wzór wyżej. Wartość $d$ zależy tylko od podstawy: dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a$ jest to $d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (połowa przekątnej kwadratu), a dla trójkątnego $d = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Promienie okręgów w podstawie liczy się dokładnie tak, jak w płaskiej geometrii, co rozbieramy we wpisie o promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie.

Zwróć uwagę na znak $x$. Jeśli $d > H$, czyli ostrosłup jest niski i szeroki, to $x < 0$ i środek kuli opisanej leży poniżej podstawy, czyli poza bryłą. To nie jest błąd rachunkowy, tylko poprawny wynik geometryczny.

Kula wpisana w ostrosłup prawidłowy

Tu masz dwie metody i obie są akceptowane na maturze. Pierwsza to przekrój, druga to wzór na promień przez objętość.

Metoda przekroju: przetnij ostrosłup prawidłowy czworokątny płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy. Dostajesz trójkąt równoramienny o podstawie $a$ i wysokości $H$, a kula wpisana w ostrosłup przecina się w okrąg wpisany w ten trójkąt. Promień okręgu wpisanego liczysz ze wzoru $\rho = \frac{P}{p}$, gdzie $p$ to połowa obwodu. Po podstawieniu:

$r = \frac{aH}{a + \sqrt{a^2 + 4H^2}}$

Metoda uniwersalna: dla każdej bryły, w którą da się wpisać kulę, zachodzi $V = \frac{1}{3} r \cdot S_c$, gdzie $S_c$ to pole powierzchni całkowitej. Stąd:

$r = \frac{3V}{S_c}$

Ten wzór działa dla ostrosłupów, czworościanu foremnego i stożka, więc jeśli masz już policzone $V$ i $S_c$ (a zwykle masz, bo zadanie prosi o nie wcześniej), to promień kuli wpisanej dostajesz jednym dzieleniem. Objętość ostrosłupa liczysz standardowo, co przypominamy w poradniku o tym, jak obliczyć objętość ostrosłupa i pole powierzchni.

Kula wpisana w stożek i kula opisana na stożku

W stożku wszystko rozgrywa się w przekroju osiowym, czyli w trójkącie równoramiennym o podstawie $2r_p$ i ramionach równych tworzącej $l$. Kula wpisana w stożek daje w tym przekroju okrąg wpisany w trójkąt, a kula opisana na stożku okrąg opisany na tym trójkącie. Wzory wychodzą krótkie:

$r = \frac{r_p \cdot H}{r_p + l}, \qquad R = \frac{l^2}{2H}$

gdzie $r_p$ to promień podstawy, $H$ wysokość, $l$ tworząca, przy czym $l^2 = r_p^2 + H^2$. Pierwszy wzór to nic innego jak $\rho = \frac{P}{p}$ dla trójkąta o polu $r_p H$ i połowie obwodu $r_p + l$. Więcej o samych elementach stożka znajdziesz we wpisie o tym, jak obliczyć pole i objętość stożka, a technikę rysowania przekrojów rozbieramy w poradniku o przekroju bryły płaszczyzną.

W walcu jest jeszcze prościej. Kulę można wpisać w walec tylko wtedy, gdy jego wysokość jest równa średnicy podstawy ($H = 2r_p$), i wtedy $r = r_p$. Kula opisana na dowolnym walcu ma promień $R = \sqrt{r_p^2 + \frac{H^2}{4}}$. Dla walca, w który da się wpisać kulę, stosunek objętości kuli do objętości walca wynosi dokładnie $\frac{2}{3}$, co odkrył jeszcze Archimedes.

Typowe pułapki

Zakładanie, że środek kuli opisanej leży w połowie wysokości. To prawda tylko w bryłach o środku symetrii, na przykład w sześcianie czy prostopadłościanie. W ostrosłupie prawie nigdy, co pokazuje przykład 3.

Mylenie $a\sqrt{2}$ z $a\sqrt{3}$. Przekątna ściany sześcianu to $a\sqrt{2}$, przekątna bryły to $a\sqrt{3}$. Kula opisana korzysta z tej drugiej.

Wpisywanie kuli w prostopadłościan. Da się tylko w sześcian. Jeśli zadanie mówi o kuli wpisanej w prostopadłościan o różnych krawędziach, przeczytaj polecenie jeszcze raz, bo pewnie chodzi o walec albo o kulę styczną do czterech ścian.

Liczenie promienia kuli wpisanej w stożek jako $\frac{H}{3}$ albo $\frac{r_p}{2}$. Takie skróty nie działają. W przykładzie 4 wyszłoby 2,67 zamiast 3.

Gubienie potęgi przy podstawianiu do $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Gdy $R$ zawiera pierwiastek, podnieś do sześcianu osobno część wymierną i pierwiastek.

Brak rysunku przekroju. Zadania przestrzenne z kulą praktycznie nie dają się zrobić w pamięci. Rysunek płaskiego przekroju z zaznaczonym środkiem i promieniem to często pierwszy punkt w schemacie oceniania, jeszcze zanim cokolwiek policzysz. Jak w ogóle punktowane są takie zadania, tłumaczymy w poradniku o zasadach oceniania zadań maturalnych.

Checklista: co musisz umieć

Gdy masz to opanowane, przećwicz na oryginalnych arkuszach: pełna baza zadań CKE ze stereometrii z rozwiązaniami zawiera zadania zamknięte i otwarte z tego działu, a ogólne omówienie brył znajdziesz we wpisie o stereometrii na maturze.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie