Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego ABCDEFGH jest kwadrat ABCD (zobacz rysunek). Kąt AHC między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych ma 50° . Kąt DBG między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej jest równy
Odpowiedzi do wyboru
- A.60°
- B.65°
- C.75°
- D.80°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Analizuje się graniastosłup prosty o podstawie kwadratowej.
## Ustalenie układu współrzędnych
Przyjmuje się układ współrzędnych z wierzchołkiem A w początku: - A = (0, 0, 0) - B = (a, 0, 0) - C = (a, a, 0) - D = (0, a, 0) - E = (0, 0, h) - F = (a, 0, h) - G = (a, a, h) - H = (0, a, h)
gdzie a to bok podstawy, h to wysokość graniastosłupa.
## Znalezienie zależności z kąta ∠AHC = 50°
Oblicza się wektory: - HA = A - H = (0, 0, 0) - (0, a, h) = (0, -a, -h) - HC = C - H = (a, a, 0) - (0, a, h) = (a, 0, -h)
Iloczyn skalarny: HA · HC = 0 · a + (-a) · 0 + (-h) · (-h) = h²
Długości wektorów: |HA| = √(0² + a² + h²) = √(a² + h²) |HC| = √(a² + 0² + h²) = √(a² + h²)
Ze wzoru na kąt między wektorami: cos(50°) = h²/(a² + h²)
## Obliczenie kąta ∠DBG
Oblicza się wektory: - BD = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0) - BG = G - B = (a, a, h) - (a, 0, 0) = (0, a, h)
Iloczyn skalarny: BD · BG = (-a) · 0 + a · a + 0 · h = a²
Długości wektorów: |BD| = √(a² + a² + 0) = a√(2) |BG| = √(0 + a² + h²) = √(a² + h²)
Kąt α= ∠DBG: cos α= a²/(a√(2) · √(a² + h²)) = a/(√(2(a² + h²)))
## Wyrażenie przez cos(50°)
Z wcześniejszego wyniku: h² = (a² + h²) cos(50°)
Podstawia się do wzoru na cos α: cos α= a/(√(2(a² + h²))) = 1/√(2) · a/(√(a² + h²))
Podnosi się do kwadratu: cos² α= 1/2 · a²/(a² + h²)
Ponieważ h²/(a² + h²) = cos(50°), to: a²/(a² + h²) = 1 - cos(50°)
Zatem: cos² α= (1 - cos(50°))/2
Ze wzoru: sin²(25°) = (1 - cos(50°))/2
Więc: cos² α= sin²(25°)
Stąd: cos α= sin(25°) = cos(65°)
Zatem: α= 65°
Odpowiedź: B
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.