Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - wzory R i r, zadania

Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie to jeden z tych tematów, na których uczniowie tracą punkty nie dlatego, że są trudne, tylko dlatego, że nie wiedzą, którego wzoru użyć w danej sytuacji. Z naszej analizy arkuszy maturalnych 2010-2025 zadania z R i r pojawiają się prawie co roku, raz jako zadanie zamknięte za 1 punkt, raz jako element większego zadania otwartego z planimetrii za 3-5 punktów. Najczęściej w połączeniu z twierdzeniem Pitagorasa albo twierdzeniem sinusów lub kosinusów.

W tym poście pokażę ci wszystkie wzory na R i r, które realnie przydają się na maturze podstawowej, omówię kiedy stosować który, rozwiążemy razem pięć zadań w różnych konfiguracjach trójkątów i przejdziemy przez najczęstsze pułapki. Na końcu znajdziesz checklistę, która pozwala w 30 sekund wybrać właściwy wzór i zacząć liczyć.

Co to jest okrąg wpisany i opisany na trójkącie

Zanim wskoczymy we wzory, upewnij się, że dobrze rozumiesz, o czym mówimy. To są dwa różne okręgi, o różnym położeniu i różnych własnościach.

Okrąg opisany na trójkącie to taki, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta (symetralna boku to prosta prostopadła do boku, przechodząca przez jego środek). Promień tego okręgu oznaczamy literą $R$. Każdy trójkąt da się wpisać w jakiś okrąg, więc dla dowolnego trójkąta zawsze istnieje dokładnie jedno $R$.

Okrąg wpisany w trójkąt to taki, który jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta (dwusieczna to półprosta dzieląca kąt na dwie równe części). Promień tego okręgu oznaczamy literą $r$. W każdy trójkąt można też wpisać dokładnie jeden okrąg.

Najprostszy sposób, żeby zapamiętać, który jest który: okrąg opisany jest "na zewnątrz" trójkąta (otacza go), a okrąg wpisany "wewnątrz" (jest w środku). R jak "rama z zewnątrz", r jak "rdzeń w środku". Banalne, ale działa.

Środki tych dwóch okręgów to są zupełnie różne punkty w trójkącie. Tylko w trójkącie równobocznym pokrywają się (bo wtedy pokrywa się też ortocentrum i środek ciężkości). To jedna z przyczyn, dla której trójkąt równoboczny ma najprostsze wzory na R i r, i dlaczego pojawia się w zadaniach maturalnych częściej niż dowolny inny.

Wzór uniwersalny na promień okręgu opisanego

To jest wzór, który ratuje cię w 90 procentach zadań na promień okręgu opisanego. Działa dla dowolnego trójkąta, bez względu na kształt:

$R = \frac{abc}{4P}$

gdzie $a$, $b$, $c$ to długości boków trójkąta, a $P$ to jego pole. Ten wzór jest w karcie wzorów CKE, więc nie musisz go pamiętać na pamięć - ale lepiej żebyś go pamiętał, bo szybciej znajdziesz go w głowie niż w tablicy.

Schemat użycia jest banalny: jeśli znasz trzy boki trójkąta, policz pole (np. wzorem Herona), pomnóż boki, podziel przez $4P$ i masz $R$. Jedna formuła do zapamiętania, zero kombinowania.

Drugi wzór, który warto znać, pochodzi z twierdzenia sinusów:

$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

gdzie $\alpha$ to kąt naprzeciw boku $a$. Jeśli więc znasz jeden bok i kąt naprzeciw niego, masz $R$ w jednym kroku. Pełne twierdzenie sinusów mówi, że $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$, więc którąkolwiek parę bok-kąt weźmiesz, dostaniesz to samo $R$. To często szybsze rozwiązanie niż liczenie pola.

Wzór uniwersalny na promień okręgu wpisanego

Dla promienia okręgu wpisanego masz jeden naprawdę elegancki wzór, który działa zawsze:

$r = \frac{P}{p}$

gdzie $P$ to pole trójkąta, a $p$ to połowa obwodu, czyli $p = \frac{a+b+c}{2}$. Połowa obwodu nazywana jest też "obwodem połówkowym" albo "p" - i tym samym $p$ liczymy też wzór Herona, więc oba ze sobą świetnie współgrają.

Jeśli więc znasz trzy boki trójkąta, najlepsza droga to: policz $p$, policz $P$ ze wzoru Herona $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, potem $r = P/p$. Dwie minuty roboty, niezawodne.

W praktyce maturalnej pole trójkąta często liczy się prościej, niż przez Herona. Jeśli masz trójkąt prostokątny, pole to po prostu $P = \frac{1}{2}ab$ z przyprostokątnych. Jeśli masz wysokość, to $P = \frac{1}{2}ah$. Jeśli masz dwa boki i kąt między nimi, to $P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Wybieraj najprostszą drogę do $P$, bo wzór $r = P/p$ zostaje ten sam niezależnie od metody.

Trójkąt równoboczny - wzory ze ściągi

Trójkąt równoboczny jest tak symetryczny, że jego R i r liczy się jednym wzorem. Dla trójkąta równobocznego o boku długości $a$:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Zauważ, że $R = 2r$ - promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego. To wynik faktu, że oba środki pokrywają się w punkcie przecięcia środkowych, który dzieli każdą środkową w stosunku 2:1.

Skąd te wzory? Sprawdźmy. Pole trójkąta równobocznego to $P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Wzór uniwersalny $R = \frac{abc}{4P} = \frac{a^3}{4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a^3}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Dla $r$: $p = \frac{3a}{2}$, więc $r = \frac{P}{p} = \frac{a^2 \sqrt{3}/4}{3a/2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Wzory się zgadzają.

W praktyce maturalnej polecam wkuć tę dwójkę na pamięć. Trójkąt równoboczny pojawia się w arkuszach co rok, bo CKE uwielbia tę figurę. Mając w głowie $R = a\sqrt{3}/3$ i $r = a\sqrt{3}/6$, zaoszczędzisz pełne dwie minuty na każdym takim zadaniu. Więcej o trójkątach z konkretnymi kątami przeczytasz w trójkąty 30-60-90 i 45-45-90 - zależności boków.

Trójkąt prostokątny - super proste wzory

Trójkąt prostokątny też ma swoje wzory specjalne i też warto je znać. Niech $a$ i $b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna. Wtedy:

$R = \frac{c}{2}, \quad r = \frac{a+b-c}{2}$

Wzór na $R$ jest pięknie geometryczny: w trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży dokładnie w środku przeciwprostokątnej, a promień to połowa przeciwprostokątnej. To z kolei wynik twierdzenia Talesa o kącie wpisanym opartym na średnicy. Czyli jeśli widzisz trójkąt prostokątny i pytanie o $R$, nie musisz nic liczyć - bierzesz przeciwprostokątną przez dwa i już.

Wzór na $r$ jest mniej oczywisty, ale można go łatwo wyprowadzić z $r = P/p$: pole $P = \frac{ab}{2}$, obwód połówkowy $p = \frac{a+b+c}{2}$, więc $r = \frac{ab/2}{(a+b+c)/2} = \frac{ab}{a+b+c}$. Po podstawieniu $c^2 = a^2 + b^2$ (twierdzenie Pitagorasa) i pewnych przekształceniach algebraicznych otrzymujesz $r = \frac{a+b-c}{2}$. Oba wzory $\frac{ab}{a+b+c}$ i $\frac{a+b-c}{2}$ są równoważne. Pierwszy jest wygodniejszy, jeśli znasz wszystkie trzy boki, drugi - jeśli pole liczyć łatwo.

Schemat: jaki wzór kiedy stosować

Tu masz prosty algorytm decyzyjny. Pamiętaj go i dobiegniesz do wyniku w każdej konfiguracji.

Krok 1: Sprawdź, jaki to trójkąt. Równoboczny? Użyj wzoru $R = a\sqrt{3}/3$ lub $r = a\sqrt{3}/6$. Koniec, jedno podstawienie.

Krok 2: Czy to trójkąt prostokątny? Jeśli pytanie o $R$ to bierzesz przeciwprostokątną przez 2. Jeśli o $r$ to $r = (a+b-c)/2$.

Krok 3: Trójkąt dowolny, ale masz trzy boki? Dla $R$ użyj $R = \frac{abc}{4P}$ (policz pole Heronem). Dla $r$ policz pole Heronem i $r = P/p$.

Krok 4: Trójkąt dowolny, masz bok i kąt naprzeciw niego? Dla $R$ idź przez twierdzenie sinusów: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$. Dla $r$ musisz najpierw znaleźć pozostałe boki lub pole.

Krok 5: Trójkąt dowolny, masz dwa boki i kąt między nimi? Pole $P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, trzeci bok z twierdzenia kosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$. Dalej standardowo.

Mając te pięć kroków w głowie, ogarniesz każdy układ. Teraz przykłady.

Typowe pułapki i błędy

Mylenie $R$ z $r$. Klasyk: uczeń policzy poprawnie pole i obwód połówkowy, potem wstawi $R = abc/(4P)$ zamiast $r = P/p$. Albo na odwrót. Zanim zaczniesz liczyć, podkreśl w treści zadania, którego promienia szukasz. Zapisz "szukam R" lub "szukam r" na marginesie. Drobny rytuał, który ratuje od bezsensownej straty 1-3 punktów.

Stosowanie wzoru dla trójkąta równobocznego do trójkąta równoramiennego. To nie to samo. Wzór $R = a\sqrt{3}/3$ działa tylko, gdy WSZYSTKIE trzy boki są równe. Jeśli masz trójkąt o bokach 5, 5, 6 (równoramienny, ale nie równoboczny), to musisz iść standardową drogą przez $P$ i $p$. Sprawdzaj definicje na początku.

Zapomnienie, że $R = c/2$ działa tylko dla trójkąta prostokątnego. Jeśli trójkąt nie ma kąta prostego, nie ma znaczenia, który bok nazwiesz "c" - wzór $R = c/2$ nie zadziała. Sprawdź, czy w trójkącie jest kąt 90 stopni. Często da się to zauważyć po długościach boków: jeśli $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa).

Błąd w obwodzie połówkowym. Pamiętaj, że $p = \frac{a+b+c}{2}$, nie $p = a+b+c$. Wstawienie pełnego obwodu zamiast połowy to klasyczny błąd ze stresu - daje wynik dwa razy mniejszy niż prawdziwy. Zawsze sprawdzaj jednostki i porządek wielkości.

Pominięcie niewymierności w mianowniku. Gdy w odpowiedzi wychodzi $\sqrt{6}$ w mianowniku, CKE oczekuje, że usuniesz niewymierność. $\frac{35}{4\sqrt{6}}$ zapisz jako $\frac{35\sqrt{6}}{24}$. To nie jest błąd merytoryczny, ale formalny - CKE może odjąć pół punktu za "brak finalizacji" albo "nieczytelny zapis odpowiedzi".

Mylenie środka okręgu wpisanego z opisanym. Środek okręgu wpisanego to przecięcie dwusiecznych KĄTÓW. Środek okręgu opisanego to przecięcie symetralnych BOKÓW. Jeśli w zadaniu otwartym musisz uzasadnić położenie środka, użyj poprawnej własności. W trójkącie równobocznym oba środki się pokrywają, w innych trójkątach to dwa różne punkty. Więcej o własnościach kątów i punktów szczególnych przeczytasz w kąty w figurach - wpisane, środkowe, w trójkątach.

Dodatkowy przykład 6: Trójkąt rozwartokątny

W trójkącie $ABC$ bok $a = 7$, $b = 8$, kąt między nimi $\gamma = 120^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego.

Najpierw trzeci bok z twierdzenia kosinusów:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, więc:

$c^2 = 113 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169$

Stąd $c = 13$.

Teraz idziemy przez twierdzenie sinusów dla boku $c$ i kąta $\gamma$:

$R = \frac{c}{2 \sin \gamma} = \frac{13}{2 \sin 120^\circ} = \frac{13}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3}$

Odpowiedź: $R = \frac{13\sqrt{3}}{3}$.

Zwróć uwagę na elegancję rozwiązania: w trójkątach rozwartokątnych nie da się prosto pójść przez $R = c/2$, bo to działa tylko dla prostokątnego. Ale twierdzenie kosinusów + twierdzenie sinusów to kombinacja, która ratuje cię w każdej konfiguracji "dwa boki i kąt między nimi".

Dodatkowy przykład 7: Promień okręgu wpisanego w trójkąt opisany na okręgu

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 13, a jedna z przyprostokątnych 5. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Drugą przyprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12$.

Stąd:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Sprawdzenie wzorem alternatywnym: $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$, $p = \frac{5+12+13}{2} = 15$, $r = P/p = 30/15 = 2$. Zgadza się.

Odpowiedź: $r = 2$.

Trójkąt 5-12-13 to klasyczna trójka pitagorejska, której CKE uwielbia używać. Warto ją mieć w głowie razem z trójką 3-4-5 i 8-15-17.

Powiązania z innymi tematami matury

Promienie R i r rzadko występują samodzielnie - prawie zawsze są elementem większego zadania, w którym musisz połączyć kilka twierdzeń. Najczęstsze kombinacje:

R z twierdzeniem sinusów. To czysta para - skoro $2R = \frac{a}{\sin \alpha}$, to CKE lubi zadania, w których podają ci bok i kąt, a ty masz znaleźć R bezpośrednio.

r z polem trójkąta i obwodem. CKE potrafi dać ci sytuację, w której znasz r i obwód, a musisz wyznaczyć pole ($P = r \cdot p$). To wzór odwrotny do $r = P/p$ - jeśli zapamiętasz oba kierunki, masz przewagę.

R i twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy. Klasyk: jeśli kąt wpisany w okrąg ma 90 stopni, to opiera się na średnicy, czyli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to średnica okręgu opisanego. Stąd $R = c/2$.

Promienie i trójkąty podobne. Jeśli dwa trójkąty są podobne w skali k, to ich promienie okręgów wpisanych mają stosunek k, podobnie opisanych. Pola mają stosunek $k^2$, więc to się ze sobą spina.

Geometria analityczna: gdy trójkąt jest podany przez współrzędne

Czasem CKE podaje ci trójkąt nie przez długości boków, ale przez współrzędne wierzchołków. Np. $A = (0,0)$, $B = (6,0)$, $C = (2,4)$. Pytanie o R lub r wymaga dwóch dodatkowych kroków, ale schemat zostaje ten sam.

Krok 1: Policz długości boków ze wzoru na odległość między dwoma punktami: $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Dla naszego trójkąta: $|AB| = 6$, $|AC| = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}$, $|BC| = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$.

Krok 2: Policz pole jednym z dwóch sposobów. Albo ze wzoru ze współrzędnych: $P = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$, albo geometrycznie: $AB$ leży na osi $OX$, więc wysokość z $C$ na $AB$ to po prostu współrzędna $y$ punktu $C$, czyli 4. Stąd $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Krok 3: Stosuj standardowe wzory. $R = \frac{abc}{4P} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}}{48} = \frac{48\sqrt{10}}{48} = \sqrt{10}$. I $r = P/p$, gdzie $p = (6 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2})/2 = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}$.

To podejście łączy planimetrię z równaniem prostej i równaniem okręgu. Świetna kombinacja na maturze - jeśli zauważysz, że bok leży na osi współrzędnych, oszczędzisz pełne dwie minuty na liczeniu wysokości.

Checklista do zadania o promieniu R lub r

Zanim oddasz pracę, przejdź przez ten check:

Podsumowanie

Promień okręgu wpisanego $r$ i opisanego $R$ na trójkącie to temat, który w istocie sprowadza się do czterech wzorów: $R = abc/(4P)$, $R = a/(2 \sin \alpha)$, $r = P/p$ plus wzory specjalne dla trójkąta równobocznego i prostokątnego. Wszystko, co musisz umieć, to wybrać właściwy wzór do danej konfiguracji i poprawnie podstawić.

W praktyce maturalnej kluczowe są dwa nawyki: po pierwsze, zawsze rozpoznaj typ trójkąta przed wyborem wzoru (równoboczny i prostokątny mają skróty, które oszczędzą ci minut); po drugie, dla dowolnego trójkąta zacznij od policzenia pola - mając $P$, masz oba promienie po jednym podzieleniu. Resztę zostaw schematowi.

Jeśli przerobisz pięć przykładów z tego posta i zrobisz dodatkowo 3-4 zadania z arkuszy maturalnych 2010-2025 - zwłaszcza z matury maj 2019, matury maj 2021 i matury maj 2024, gdzie temat się powtarzał - to zadania o R i r przestaną być dla ciebie wyzwaniem. To kilka punktów, które masz pewne, jeśli tylko trzymasz się prostego schematu: rozpoznaj trójkąt, wybierz wzór, policz pole, policz promień, sprawdź jednostki. Pełna instrukcja w topiku planimetria i w przewodniku planimetria na maturze.

Następny krok Losuj kolejne zadanie