Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb o boku długości 3. Krawędź boczna DS ma długość 4 i jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa. Długości pozostałych trzech krawędzi bocznych są równe (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 6√(3)
Mamy ostrosłup o podstawie rombowej, gdzie jedna krawędź boczna jest wysokością.
## Analiza danych
- Podstawa: romb ABCD o boku długości 3 - Krawędź DS = 4 jest wysokością ostrosłupa - Pozostałe krawędzie boczne: AS = BS = CS
## Krok 1: Interpretacja warunku o wysokości
Jeśli DS jest wysokością ostrosłupa, to DS ⊥ (płaszczyzna podstawy).
Oznacza to, że punkt D jest jednocześnie wierzchołkiem podstawy i rzutem wysokości na podstawę. Zatem S leży na prostej prostopadłej do podstawy przechodzącej przez D.
## Krok 2: Wyznaczenie warunków geometrycznych
Skoro DS ⊥ (podstawa) i DS = 4, to dla pozostałych wierzchołków podstawy A, B, C:
AS² = AD² + DS² BS² = BD² + DS² CS² = CD² + DS²
## Krok 3: Wykorzystanie warunku równości krawędzi
Z warunku AS = BS = CS otrzymujemy:
AD² + 16 = BD² + 16 = CD² + 16
Zatem: AD² = BD² = CD²
czyli: AD = BD = CD
## Krok 4: Analiza rombu
W rombie ABCD: - AD = 3 (bok rombu) - CD = 3 (bok rombu) - AD = BD = CD = 3
Oznacza to, że BD = 3.
## Krok 5: Wyznaczenie kąta rombu
W trójkącie ABD: - AD = 3, AB = 3, BD = 3
To jest trójkąt równoboczny! Zatem ∠DAB = 60°.
To jest kąt rombu: α= 60°.
## Krok 6: Pole podstawy
Pole rombu o boku a = 3 i kącie α= 60°:
P = a² sinα= 3² · sin 60° = 9 · √(3)/2 = 9√(3)/2
## Krok 7: Objętość ostrosłupa
Wzór na objętość ostrosłupa:
V = 1/3 · P_(podstawy) · H
gdzie H = DS = 4:
V = 1/3 · 9√(3)/2 · 4 = 1/3 · 36√(3)/2 = 36√(3)/6 = 6√(3)
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 6√(3).
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.