Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Punkty G, E i F są odpowiednio środkami odcinków AD, BC i CS (zobacz rysunek). Kątem między przeciwległymi ścianami bocznymi jest kąt
Odpowiedzi do wyboru
- A.DFE
- B.GES
- C.ESG
- D.ASC
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Analizuje się geometrię ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ze ścianami bocznymi będącymi trójkątami równobocznymi.
## Krok 1: Ustalenie notacji i własności ostrosłupa
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS ma: - Podstawę ABCD - kwadrat - Wierzchołek S - Ściany boczne: △ABS, △BCS, △CDS, △DAS - wszystkie równoboczne
Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako a. Ponieważ ściany boczne są równoboczne, wszystkie krawędzie boczne również mają długość a.
## Krok 2: Identyfikacja przeciwległych ścian bocznych
Przeciwległe ściany boczne to: - △ABS i △CDS - △BCS i △DAS
## Krok 3: Analiza punktów G, E, F
- G - środek AD (krawędź podstawy) - E - środek BC (krawędź podstawy) - F - środek CS (krawędź boczna)
## Krok 4: Definicja kąta między płaszczyznami
Kąt między dwiema płaszczyznami mierzymy jako kąt między prostymi prostopadłymi do krawędzi wspólnej (lub równoległej do wspólnej krawędzi), leżącymi w obu płaszczyznach.
Weźmy ściany △BCS i △DAS (przeciwległe).
## Krok 5: Znalezienie odpowiednich prostych
W płaszczyźnie ściany △BCS: - Punkt E to środek BC - Prosta SE jest wysokością trójkąta równobocznego △BCS opuszczoną z S na BC - SE ⊥ BC
W płaszczyźnie ściany △DAS: - Punkt G to środek AD - Prosta SG jest wysokością trójkąta równobocznego △DAS opuszczoną z S na AD - SG ⊥ AD
## Krok 6: Kluczowa obserwacja
Ponieważ ABCD jest kwadratem: - BC ∥ AD - E to środek BC, G to środek AD
Jeśli SE ⊥ BC i SG ⊥ AD, oraz BC ∥ AD, to: - Obie proste SE i SG są prostopadłe do równoległych krawędzi - Kąt ∠ESG (lub równoważnie ∠GSE) jest kątem między płaszczyznami ścian △BCS i △DAS
## Krok 7: Weryfikacja odpowiedzi
Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi to kąt ∠ESG, co zapisujemy jako ESG.
Odpowiedź: C
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.